Heavisides expansionsregel

Heavisides expansionsregel är inom matematiken en metod för att bestämma koefficienter vid partialbråksuppdelning, uppkallad efter Oliver Heaviside.

Metoden

Heavisides expansionsregel kan användas då faktorerna i nämnaren har formen $(x-a{)}^n$, och då täljarens gradtal är strikt mindre än nämnarens. Om så inte är fallet kan polynomdivision utföras.

Den vanliga ansatsen för ett sådant bråk är

$\frac{P(x)}{(x-a{)}^n}=\frac{A_0}{(x-a{)}^n}+\frac{A_1}{(x-a{)}^{n-1}}+\cdots +\frac{A_{n-1}}{x-a}.$

För att bestämma den första koefficienten sätts $x=a$ in i täljaren. För att bestämma den andra koefficienten sätts $x=a$ in i $P^{\prime }(x)$, det vill säga täljarens derivata. Generellt gäller, för den k:te koefficienten:

$A_k=\frac{1}{k!}\frac{d^k}{d{x}^k}((x-a{)}^{n}P(x)){|}_{x=a}=\frac{P^{(k)}(a)}{k!}.$

Ett exempel

Betrakta ett bråk där nämnarens gradtal är fyra. För ett sådant bråk gäller ansatsen

$\frac{P(x)}{(x-a{)}^4}=\frac{A_0}{(x-a{)}^4}+\frac{A_1}{(x-a{)}^3}+\frac{A_2}{(x-a{)}^2}+\frac{A_3}{x-a}.$

Börja med att multiplicera båda led med $(x-a{)}^4$

$P(x)=A_0+A_1(x-a)+A_2{(x-a)}^2+A_3{(x-a)}^3.$

(1)

Koefficienterna $A_0$, $A_1$, $A_2$ och $A_3$ bestäms sedan genom att successivt derivera båda led i denna identitet och sätta in $x=a$.

1. Sätts $x=a$ in i båda led i (1) fås direkt att

   $P(a)=A_0$.

2. För att få fram $A_1$ deriveras först båda leden i (1) med avseende på $x$

   $P^{\prime }(x)=A_1+2A_2(x-a)+3A_3(x-a{)}^2$

   och när $x=a$ ger detta att

   $P^{\prime }(a)=A_1.$

3. Koefficienten $A_2$ bestäms genom att derivera båda led i (1) ytterligare en gång

   $P^{″}(x)=2A_2+6A_3(x-a)$

   och sedan sätta in $x=a$

   $P^{″}(a)=2A_2\iff A_2=\frac{P^{″}(a)}{2}.$

4. Till slut, för att få $A_3$ deriveras ekvation (1) en sista gång

   $P^{‴}(x)=6A_3$

   och låt därefter $x=a$

   $P^{‴}(a)=6A_3\iff A_3=\frac{P^{‴}(a)}{6}.$