Hermitepolynom

Mall:Källor Hermitepolynomen, uppkallade efter franske 1800-talsmatematikern Charles Hermite, är en uppsättning ortogonala polynom hemmahörande i Hilbertrummet $L_{e^{x^{2}}}^{2} (ℝ)$ . De betecknas H_n(x), där n är gradtalet. Med Rodrigues formel kan man generera det n-te polynomet.

H_{n} (x) = (- 1)^{n} e^{x^{2}} \frac{d^{n}}{d x^{n}} (e^{- x^{2}})

Hermitepolynomen är även lösningen till ett Sturm-Liouville-problem, nämligen

y^{″} - 2 x y^{'} + 2 n y = 0

De elva första Hermitepolynomen är:

H_{0} (x) = 1

H_{1} (x) = 2 x

H_{2} (x) = 4 x^{2} - 2

H_{3} (x) = 8 x^{3} - 12 x

H_{4} (x) = 16 x^{4} - 48 x^{2} + 12

H_{5} (x) = 32 x^{5} - 160 x^{3} + 120 x

H_{6} (x) = 64 x^{6} - 480 x^{4} + 720 x^{2} - 120

H_{7} (x) = 128 x^{7} - 1344 x^{5} + 3360 x^{3} - 1680 x

H_{8} (x) = 256 x^{8} - 3584 x^{6} + 13440 x^{4} - 13440 x^{2} + 1680

H_{9} (x) = 512 x^{9} - 9216 x^{7} + 48384 x^{5} - 80640 x^{3} + 30240 x

H_{10} (x) = 1024 x^{10} - 23040 x^{8} + 161280 x^{6} - 403200 x^{4} + 302400 x^{2} - 30240

Egenskaper

H_{n + 1} (x) = 2 x H_{n} (x) - {H_{n}}^{'} (x) .

H_{n} (x) = n! \sum_{m = 0}^{⌊ n / 2 ⌋} \frac{(- 1)^{m}}{m! (n - 2 m)!} (2 x)^{n - 2 m}

H_{n} (0) = {\begin{matrix} 0, & om n är udda \\ (- 1)^{n / 2} 2^{n / 2} (n - 1)!!, & om n är jämnt \end{matrix}

\exp (2 x t - t^{2}) = \sum_{n = 0}^{\infty} H_{n} (x) \frac{t^{n}}{n!}

Multiplikationsteoremet:

𝐻_{n} (γ x) = \sum_{i = 0}^{⌊ n / 2 ⌋} γ^{n - 2 i} (γ^{2} - 1)^{i} (\binom{n}{2 i}) \frac{(2 i)!}{i!} 𝐻_{n - 2 i} (x)

H_{n} (x + y) = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) H_{k} (x) (2 y)^{(n - k)} = 2^{- \frac{n}{2}} \cdot \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) H_{n - k} (x \sqrt{2}) H_{k} (y \sqrt{2})

𝐻_{n}^{(m)} (x) = 2^{m} \cdot \frac{n!}{(n - m)!} \cdot 𝐻_{n - m} (x) = 2^{m} \cdot m! \cdot (\binom{n}{m}) \cdot 𝐻_{n - m} (x)

H_{n + 1} (x) = 2 x H_{n} (x) - 2 n H_{n - 1} (x)

Hermitepolynomen är relaterade till Laguerrepolynomen enligt

H_{2 n} (x) = (- 4)^{n} n! L_{n}^{(- 1 / 2)} (x^{2}) = 4^{n} n! \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{n - i} (\binom{n - \frac{1}{2}}{n - i}) \frac{x^{2 i}}{i!}

H_{2 n + 1} (x) = 2 (- 4)^{n} n! x L_{n}^{(1 / 2)} (x^{2}) = 2 \cdot 4^{n} n! \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{n - i} (\binom{n + \frac{1}{2}}{n - i}) \frac{x^{2 i + 1}}{i!}

.

H_{2 n} (x) = (- 1)^{n} \frac{(2 n)!}{n!}_{1} F_{1} (- n, \frac{1}{2}; x^{2})

H_{2 n + 1} (x) = (- 1)^{n} \frac{(2 n + 1)!}{n!} 2 x_{1} F_{1} (- n, \frac{3}{2}; x^{2})