Visa källa för Yule–Walker-ekvationerna

'''Yule–Walker-ekvationerna''' är en uppsättning [[ekvation]]er som uppstår vid skattning av parametrar för en [[autoregressiv]] modell för [[linjär prediktion]].

<!-- Följande ekvationsorgie motsvaras på engelska Wikipedia av artikeln Linear prediction. Kanske att den hör hemma i linjär prediktion i stället. -->
Givet ekvationen
: <math>Y(n) + a_1 Y(n-1) + a_2 Y(n-2) + \ldots + a_N Y(n-N) = b_0 X(n)</math>,
där <math>X(n)</math> är [[vitt brus]], önskas parametrarna <math>a_k</math> beräknas. Genom att multiplicera bägge leden med <math>Y(n-k)</math> fås
: <math>Y(n) Y(n-k) + \ldots + a_N Y(n-N) Y(n-k) = b_0 X(n) Y(n-k)</math>
Väntevärdet av de bägge leden blir
: <math>E[Y(n) Y(n-k) + \ldots + a_N Y(n-N) Y(n-k)] = E[b_0 X(n) Y(n-k)]</math>
: <math>r_Y(k) + a_1 r_Y(k-1) + \ldots + a_N r_Y(k-N) = b_0 E[X(n) Y(n-k)]</math>
(<math>r_Y(k)</math> är <math>Y</math>:s [[autokorrelation]]sfunktion.) Men eftersom <math>Y</math> inte beror av framtida värden av <math>X</math> så är
: <math>E[X(n) Y(n-k)] = 0,\ k>0</math>
vilket ger ekvationen
: <math>a_1 r_Y(k-1) + \ldots + a_N r_Y(k-N) = -r_Y(k)</math>
och ekvationssystemet för <math>k=1,\ldots,N</math> (notera att <math>r_Y</math> är symmetrisk, så <math>r_Y(-k) = r_Y(k)</math>)
: <math>
\begin{pmatrix}
r_Y(0)   & r_Y(1)   & \cdots & r_Y(N-1) \\
r_Y(1)   & r_Y(0)   & \cdots & r_Y(N-2) \\
\vdots   & \vdots   & \ddots & \vdots \\
r_Y(N-1) & r_Y(N-2) & \cdots & r_Y(0) \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_N
\end{pmatrix}
= -
\begin{pmatrix}
r_Y(1) \\ r_Y(2) \\ \vdots \\ r_Y(N)
\end{pmatrix}
</math>
Ekvationssystem kan lösas med [[gausseliminering]], eller, eftersom matrisen är en [[Toeplitz-matris]], genom [[Levinson-rekursion]].

<!-- Ekvationssystemet kan även göras [[överbestämt]]... -->
{{STANDARDSORTERING:Yule-Walker-ekvationerna}}<!-- ingen accent -->

[[Kategori:Ekvationer]]