Visa källa för Riemanns zetafunktion

[[Fil:Complex zeta.jpg|miniatyr|höger|Riemanns zeta-funktion ''ζ''(''s'') i det komplexa planet. Färgen på en punkt s visar värdet av ζ (s): starka färger är för värden nära noll och nyansen visar värdet på argumentet. Den vita fläcken vid s = 1 är en [[pol (matematik)|pol]], de svarta prickarna på den negativa reella axeln och på den kritiska linjen Re (er) = 1/2 är nollställen.]]

'''Riemanns zetafunktion''' eller '''Euler–Riemanns zetafunktion''' är en av de viktigaste [[funktion]]erna inom den [[komplex analys|komplexa analysen]]. Den används bland annat inom [[fysik]], [[sannolikhetsteori]] och [[statistik]]. Det finns även en koppling mellan funktionen och [[primtal]]en, se [[Riemannhypotesen]].<ref name=":0">{{Webbref|url=https://www.youtube.com/watch?v=d6c6uIyieoo|titel=Riemann Hypothesis - Numberphile|hämtdatum=2017-01-20|efternamn=Numberphile|datum=2014-03-11}}</ref> Hypotesen är ett av såväl [[Hilbertproblemen]] som [[Millennieproblemen]] och är fortfarande obevisad.

Funktionen är den [[analytisk fortsättning|analytiska fortsättningen]] av [[serie (matematik)|serie]]n
:<math>
\zeta(s) =\sum_{n=1}^\infty n^{-s}.
</math>

== Historia ==
Under 1700-talet undersökte [[Leonhard Euler|Euler]] serien med reella värden på ''s'':

:<math>
\sum_{n=1}^\infty n^{-s} =
\frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + ...
\!</math>
Serien konvergerar när s > 1.
Han upptäckte att serien ovan även kan uttryckas som en [[oändlig produkt]] över alla [[primtal]].

[[Bernhard Riemann]] undersökte den i det komplexa talplanet och bevisade att funktionen konvergerar för hela komplexa talplanet då Re(s) > 1.<ref name=":0" /> Sedan dess används beteckningen ζ(s) för Riemanns zetafunktion.

== Definition ==
Man kan definiera Riemanns zeta-funktion ζ(s) på två sätt, med hjälp av en Dirichletserie samt som en Eulerprodukt. 

=== Dirichletserie ===
Riemanns zeta-funktion definieras för {s ∈ C: Re(s)>1}, d.v.s. s= σ + it, σ>1, enligt:

:<math>
\zeta(s) =\sum_{n=1}^\infty n^{-s}
</math>

Enligt Cauchys intergraltest är denna serie konvergent inom det intervallet. Enligt Weierstrass kriterium är funktionen ζ(s) holomorfisk för Re(s)= σ >1 och därmed [[absolutkonvergent]].

=== Eulerprodukt ===
Euler visade år 1737<ref>Beviset presenterades för akademin i [[Sankt Petersburg]] den 25 april 1737 enligt [http://eulerarchive.maa.org/pages/E072.html The Euler Archive] {{Wayback|url=http://eulerarchive.maa.org/pages/E072.html |date=20140225110640 }}. Det publicerades 1844 som ''teorem 8'' i artikeln ''[http://eulerarchive.maa.org/docs/originals/E072.pdf Variae observationes circa series infinitas]'' sid. 174-176. i ''[http://eulerarchive.maa.org/publications/journals/Commentarii.html Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9] {{Wayback|url=http://eulerarchive.maa.org/publications/journals/Commentarii.html |date=20190907065138 }}'' för år 1737 vars försättsblad finns att beskåda [http://eulerarchive.maa.org/publications/journals/TOC_CASP09.pdf här] {{Wayback|url=http://eulerarchive.maa.org/publications/journals/TOC_CASP09.pdf |date=20141103174731 }}. Engelsk översättning finns [http://eulerarchive.maa.org/docs/translations/E072en.pdf här] (teorem 8 på sid. 9-10).</ref> att serien 
:<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}</math> 
kan skrivas om som en produkt över alla primtal:
:<math>\prod_{p \text{ primtal}} \frac{1}{1-p^{-s}}</math>

Man kan börja skriva om högerledet som en [[geometrisk serie]]:
:<math>\prod_{p \text{ primtal}} \left({1}-\frac{1}{p^s}\right)^{-1}= \prod_{p \text{ primtal}} \left(1+ \frac{1}{p^s}+\frac{1}{p^{2s}}+\dots\right)= \prod_{i=1} \sum_{n_i=0}^\infty (p_i^{-s})^{n_i}</math>
där ''p<sub>i</sub>'' är det ''i'':e primtalet.

I nästa steg utvecklar vi produkten av summan och vi får:
:<math>\prod_{i=1} \sum_{n_i=0}^\infty (p_i^{-s})^{n_i}=\sum_{n_1=0}^\infty (p_1^{-s})^{n_1}.\sum_{n_2=0}^\infty (p_2^{-s})^{n_2} \dots= \sum_{n_1=0}^\infty \sum_{n_2=0}^\infty \dots\left( p_1^{n_1} p_2^{n_2}\dots\right)^{-s}</math>

Nu kan vi med hjälp av  [[aritmetikens fundamentalsats]] skriva om summorna: Eftersom varje primtalsuppdelning är unik, och alla tal kan skrivas som en produkt av primtal (och en oändlig mängd ettor), så kommer varje heltal att dyka upp en och endast en gång, och därmed kan vi skriva
:<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \prod_{p \text{ primtal}} \frac{1}{1-p^{-s}}</math>

==Funktionalekvation==
För alla <math>\mathbb C</math> gäller [[funktionalekvation]]en
: <math>\zeta(1-s) = {2\over (2\pi)^s}\ \cos\frac{\pi s}2\ \Gamma(s)\ \zeta(s).</math>
Den kan skrivas i den symmetriska formen
:<math> \Gamma \left( \frac{s}{2} \right) \ \pi^{-s/2} \ \zeta(s) = \Gamma \left( \frac{1 - s}{2} \right) \ \pi^{(s-1)/2} \ \zeta(1 - s). </math>
Riemann definierade en annan funktion, [[Riemanns xi-funktion]], med hjälp av vilken funktionalekvationen kan skrivas ännu kortare. Dess definition är 
:<math> \xi(s) = \frac{1}{2}s(s-1)\ \pi^{-s/2}\ \Gamma\left( \frac{s}{2} \right)\ \zeta(s) </math>
och dess funktionalekvation är
:<math> \!\ \xi(s) = \xi(1 - s). </math>

==Serierepresentationer==
===Laurentserie===
Riemanns zeta-funktion är [[meromorfisk]] med en [[pol (matematik)| simpel pol]] för ''s''&nbsp;=&nbsp;1. Därför kan den utvecklas i en [[Laurentserie]] runt ''s''&nbsp;=&nbsp;1:

:<math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n \; (s-1)^n.</math>

Konstanterna γ<sub>''n''</sub> kallas [[Stieltjeskonstanter]]na och kan definieras som

: <math> \gamma_n = \lim_{m \rightarrow \infty}
{\left[\left(\sum_{k = 1}^m \frac{(\log k)^n}{k}\right) - \frac{(\log m)^{n+1}}{n+1}\right]}.</math>

Konstanttermen γ<sub>0</sub> är [[Eulers konstant]].

===Globalt konvergerande serier===
En globalt konvergerande serie för zetafunktionen valid för alla komplexa tal ''s'' utom {{nowrap|''s'' {{=}} 1 + 2π''in''/log(2)}} för något heltal ''n'' förmodades av [[Konrad Knopp]] och bevisades av [[Helmut Hasse]] 1930:

:<math>\zeta(s)=\frac{1}{1-2^{1-s}}
\sum_{n=0}^\infty \frac {1}{2^{n+1}}
\sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (k+1)^{-s}.\!</math>

Hasse bevisade även serien 
:<math>\zeta(s)=\frac 1{s-1}\sum_{n=0}^\infty \frac 1{n+1}\sum_{k=0}^n {n\choose k}\frac{(-1)^k}{(k+1)^{s-1}}.</math>

===Övriga serier===
En serie med [[Pochhammersymbolen]] är

:<math>\zeta(s) = \frac{s}{s-1} - \sum_{n=1}^\infty \left(\zeta(s+n)-1\right)\frac{s(s+1)\cdots(s+n-1)}{(n+1)!}.\!</math>


==Integralrepresentationer==
För alla <math>\scriptstyle s\in\mathbb{C}\setminus\{1\}</math> gäller
: <math>\zeta(s) = \frac{2^{s-1}}{s-1}-2^s\int\limits_0^{\infty}\frac{\sin(s\arctan t)}{(1+t^2)^\frac{s}{2}\ (\mathrm{e}^{\pi\,t}+1)}\,\mathrm{d}t</math>
 
och
: <math>\zeta(s)= \frac{1}{s-1} + \frac12+2\int\limits_0^\infty\frac{\sin(s\arctan t)}{(1+t^2)^\frac{s}{2}\ (\mathrm{e}^{2\,\pi\,t}-1)}\,\mathrm{d}t.</math>

För <math>\scriptstyle\mathrm{Re}\,s>1</math> gäller

<math>\zeta(s) =
\frac{1}{s-1}\,+\,\frac{1}{2}\,
+\,\sum\limits_{\nu=2}^q\frac{\mathrm{B}_\nu}{\nu!}\,\prod\limits_{k=0}^{\nu-2}(s+k)\,
-\,\frac{1}{q!}\,\prod\limits_{k=0}^{q-1}(s+k)\,\int\limits_1^\infty \mathrm{B}_q(x-[x])\,x^{-(s+q)}\,\mathrm dx.</math>

En annan integral för <math> 0<Re(s)<1\!</math> är

: <math> \int_0^\infty x^{s-1} \frac{\gamma x+\log\Gamma(1+x)}{x^2} \, dx= \frac{\pi}{\sin(\pi s)}\frac{\zeta(2-s)}{2-s} \!</math>.

Några specialfall för <math> s=\frac{1}{2} \!</math> och <math> s=\frac{3}{4} \!</math> är

: <math> \int_0^\infty \frac{\gamma x+\log\Gamma(1+x)}{x^{5/2}} \, dx =\frac{2\pi}{3} \zeta\left( \frac{3}{2} \right) </math>

: <math> \int_0^\infty \frac{\gamma x+\log\Gamma(1+x)}{x^{5/4}} \,dx = \sqrt{2} \frac{4\pi}{5} \zeta\left(\frac 5 4\right) </math>.

En integral för zetafunktionens [[derivata]] är

:<math> {\zeta'(s) = 2^{s-1}\left(\frac{\log 2}{s-1} -\frac{1}{(s-1)^2} + \int \limits_0^\infty \frac{2 \arctan t \cdot \cos(s \arctan t) + \log \frac{4}{1 + t^2} \cdot \sin(
    s \arctan t)}{(1 + t^2)^{\frac{s}{2}} \cdot (e^{\pi t} + 1)} \mathrm{d}t\right) }</math>

som gäller för alla komplexa tal utom 1.

För alla <math>\scriptstyle n\in\mathbb{N}\setminus\{1\}</math> kan zetafunktionen skrivas som multipelintegralen
: <math>\zeta(n)=\underbrace{\int\limits_0^1 \dotsi\int\limits_0^1}_{n \mathrm{integraler}}\frac{1}{1-x_1\dotsm x_n}\,\mathrm{d}x_1\,\dotso\,\mathrm{d}x_n.</math>

==Egenskaper==
Även om <math>\zeta(1) = \infty\!</math> är

: <math> \lim_{s\to 1}(s-1)\zeta(s)=1,</math>

det vill säga zetafunktionen har en [[pol (matematik)| simpel pol]] vid ''s''&nbsp;=&nbsp;1 med [[residy]] 1.<ref name=":0" />

==Speciella värden==

===Jämna positiva heltal===
:<math>\zeta(2) =  \frac{\pi^2}{6} = 1.6449\dots\!</math> 
:<math>\zeta(4)  = \frac{\pi^4}{90} = 1.0823\dots\!</math> 
:<math>\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945} = 1.0173...\dots\!</math> 
:<math>\zeta(8) = \frac{\pi^8}{9450} = 1.00407... \dots\!</math> 
:<math>\zeta(10) = \frac{\pi^{10}}{93555} = 1.000994...\dots\!</math> 
:<math>\zeta(12) = \frac{691\pi^{12}}{638512875} = 1.000246\dots\!</math> 
:<math>\zeta(14) = \frac{2\pi^{14}}{18243225} = 1.0000612\dots\!</math> 

och i allmänhet

:<math>\zeta(2n) = (-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!} \!</math>

för ''n'' ∈ '''N'''.

===Udda positiva heltal===
:<math>\zeta(1) = \infty\!</math> 
:<math>\zeta(3) = 1.20205\dots\!</math> 
:<math>\zeta(5) = 1.03692\dots\!</math> 
:<math>\zeta(7)  = 1.00834\dots\!</math> 
:<math>\zeta(9) = 1.002008\dots\!</math> 

Man känner inte till någon sluten form för zetafunktionens udda värden, men flera snabbt konvergerande serier har bevisats:
:<math> \zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k^3 {2k \choose k}} </math>
:<math> \zeta(3) = \frac{7\pi^3}{180} - 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3(e^{2\pi n} - 1)} </math>
:<math>\begin{align}
\zeta(5)&=\frac{1}{294}\pi^5 -\frac{72}{35} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5 (e^{2\pi n} -1)}-\frac{2}{35} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5 (e^{2\pi n} +1)}\\
\zeta(5)&=12 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5 \sinh (\pi n)} -\frac{39}{20} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5 (e^{2\pi n} -1)}-\frac{1}{20} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5 (e^{2\pi n} +1)}
\end{align}</math>

:<math>\zeta(7)=\frac{19}{56700}\pi^7 -2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^7 (e^{2\pi n} -1)}\!.</math>
:<math> \zeta(4m-1) = - \frac{1}{2}(2\pi)^{4m-1} \sum_{j=0}^{2m} (-1)^j \frac{\mathrm{B}_{2j}}{(2j)!} \frac{\mathrm{B}_{4m-2j}}{(4m-2j)!} - 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{4m-1}(e^{2\pi n} - 1)}, </math>

===Negativa heltal===
:<math>\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}.</math>
:<math>\zeta(-2n)=0.\,</math>
:<math>\zeta(-1)=-\frac{1}{12}</math>
:<math>\zeta(-3)=\frac{1}{120}</math>
:<math>\zeta(-5)=-\frac{1}{252}</math>
:<math>\zeta(-7)=\frac{1}{240}</math>

===Derivata===
Zetafunktionens derivata för negativa jämna heltal ges av

:<math>\zeta^{\prime}(-2n) = (-1)^n \frac {(2n)!} {2 (2\pi)^{2n}} \zeta (2n+1).</math>

De första värdena blir

:<math>\zeta^{\prime}(-2) = -\frac{\zeta(3)}{4\pi^2}</math>
:<math>\zeta^{\prime}(-4) = \frac{3}{4\pi^4} \zeta(5)</math>
:<math>\zeta^{\prime}(-6) = -\frac{45}{8\pi^6} \zeta(7)</math>
:<math>\zeta^{\prime}(-8) = \frac{315}{4\pi^8} \zeta(9).</math>

Andra värden är

:<math>\zeta^{\prime}(0) = -\frac{1}{2}\ln(2\pi)\approx -0.918938533\ldots</math> {{OEIS2C|A075700}}

och

:<math>\zeta^{\prime}(-1)=\frac{1}{12}-\ln A \approx -0.1654211437\ldots</math> {{OEIS2C|A084448}}

där ''A'' är [[Glaisher–Kinkelins konstant]].

==Relation till andra funktioner==
Zetafunktionen kan formellt ges som [[Mellintransformation]]en

:<math>2\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \int_0^\infty \theta(it)t^{s/2-1}\,dt</math>

med hjälp av [[Jacobis thetafunktioner|Jacobis thetafunktion]]

:<math>\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(\pi i n^2\tau).</math>

Integralen konvergerar dock inte för något värde på ''s'', men kan modifieras till följande uttryck för zetafunktionen:

:<math>
\begin{align}
& {}\quad \pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) \\[6pt]
& = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2} \int_0^1 \left(\theta(it)-t^{-1/2}\right)t^{s/2-1}\,dt + \frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{s/2-1}\,dt.
\end{align}
</math>

==Användning==
Kopplingen mellan zetafunktionen och primtalen gör att zetafunktionen fortfarande är av intresse för matematiker. Riemannhypotesen som handlar om nollställen av zeta i sin tur som skulle kunna bestämma utbredning av alla primtal, en bättre approximation av de olika aritmetiska funktioner som t.ex. primtalfunktionen π(x).

Man kan hitta ett användningsområde av denna funktion även i statistik som ”Zipfs lag” och i matematiska teorier för stämning av musik. Inom fysik utnyttjas den i kaos i klassiska och kvantmekaniska system.

==Formler som innehåller zetafunktionen==
:<math>\sum_{k=2}^\infty \zeta(k) x^{k-1}=-\psi_0(1-x)-\gamma</math>
där ''ψ''<sub>0</sub> är [[digammafunktionen]].

:<math>\sum_{n=2}^\infty (\zeta(n) -1) = 1</math>
:<math>\sum_{n=1}^\infty (\zeta(2n) -1) = \frac{3}{4}</math>
:<math>\sum_{n=1}^\infty (\zeta(2n+1) -1) = \frac{1}{4}</math>
:<math>\sum_{n=2}^\infty (-1)^n(\zeta(n) -1) = \frac{1}{2}</math>
:<math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)-1}{2^{2n}} = \frac16
</math>
:<math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)-1}{4^{2n}} = \frac{13}{30}-\frac{\pi}{8}
</math>
:<math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)-1}{8^{2n}} = \frac{61}{126}-\frac{\pi}{16}(\sqrt2+1)
</math>
:<math>
\sum_{n=1}^{\infty}(\zeta(4n)-1) = \frac78-\frac{\pi}{4}\left(\frac{e^{2\pi}+1}{e^{2\pi}-1}\right)
</math>
:<math>
\log 2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)-1}{n}
</math>
:<math>
\log \pi=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(2(\tfrac32)^n-3)(\zeta(n)-1)}{n}.
</math>

Serier relaterade till [[Eulers konstant]] är
:<math>\sum_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{\zeta(n)}{n} = \gamma</math>
:<math>\sum_{n=2}^\infty \frac{\zeta(n) - 1}{n} = 1 - \gamma</math>
:<math>\sum_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{\zeta(n)-1}{n} = \ln2 + \gamma - 1</math>
:<math> \sum_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{\zeta(n)}{n2^{n-1}} = \gamma - \log \frac{4}{\pi} </math>
:<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n+1)-1}{(2n+1)\ 2^{2n}} = 1+\log \frac{2}{3}-\gamma.</math>

En serie för [[Catalans konstant]] är

:<math> \frac{1}{16}\sum_{n=1}^\infty (n+1)\ \frac{3^n-1}{4^n}\ \zeta(n+2) = G .</math>

:<math>\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} t^{2n} \left[\zeta(2n)-1\right] =
\frac{t^2}{1+t^2} + \frac{1-\pi t}{2} - \frac {\pi t}{e^{2\pi t} -1} </math>

:<math>\sum_{k=0}^\infty \frac {\zeta(k+n+2)-1}{2^k} 
{{n+k+1} \choose {n+1}}=\left(2^{n+2}-1\right)\zeta(n+2)-1</math>

:<math>\sum_{k=0}^\infty {k+\nu+1 \choose k} \left[\zeta(k+\nu+2)-1\right] 
= \zeta(\nu+2)</math>

:<math>\sum_{k=0}^\infty {k+\nu+1 \choose k+1} \left[\zeta(k+\nu+2)-1\right] 
= 1</math>

:<math>\sum_{k=0}^\infty (-1)^k {k+\nu+1 \choose k+1} \left[\zeta(k+\nu+2)-1\right] 
= 2^{-(\nu+1)} </math>

:<math>\sum_{k=0}^\infty (-1)^k {k+\nu+1 \choose k+2} \left[\zeta(k+\nu+2)-1\right] 
= \nu \left[\zeta(\nu+1)-1\right] -  2^{-\nu}</math>


:<math>\sum_{k=0}^\infty (-1)^k {k+\nu+1 \choose k} \left[\zeta(k+\nu+2)-1\right] 
= \zeta(\nu+2)-1 -  2^{-(\nu+2)}</math>

Några serier av Adamchik och Srivastava:

:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{t^{2n}}{n} \zeta(2n) = 
\log \left(\frac{\pi t} {\sin (\pi t)}\right)</math>

:<math>\sum_{n=2}^\infty n^m \left[\zeta(n)-1\right] =
1\, + 
\sum_{k=1}^m k!\; S(m+1,k+1) \zeta(k+1)</math>

och

:<math>\sum_{n=2}^\infty (-1)^n n^m \left[\zeta(n)-1\right] =
-1\, +\, \frac {1-2^{m+1}}{m+1} B_{m+1} 
\,- \sum_{k=1}^m (-1)^k k!\; S(m+1,k+1) \zeta(k+1)</math>

där <math>B_k</math> är [[Bernoullital]]en och <math>S(m,k)</math> är [[Stirlingtal|Stirlingtalen av andra ordningen]].

== Övrigt ==
Man kan uttrycka det inverterade värdet av zeta-funktionen med hjälp av [[Möbiusfunktionen]] μ(''n'') på följande sätt:
:<math>
\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^{\infin} \frac{\mu(n)}{n^s}
</math>
för varje komplext tal ''s'' med realdel > 1.

==Se även==
* [[Dirichlets betafunktion]]
* [[Dirichlets etafunktion]]
* [[Hurwitzs zetafunktion]]
* [[Riemannhypotesen]]
* [[Stieltjeskonstanter]]

==Referenser==
=== Noter ===
<references/>
=== Allmänna källor ===
* {{Bokref |författare = A A Karatsuba, S M Voronin (mathematician) |titel = The Riemann Zeta-Function |utgivare = Walter de Gruyter & Co |år = 1992-12-01 |isbn = 9783110131703}}
* {{Bokref |författare = S J Patterson |författarlänk = S J Patterson(mathematician) |titel = An Introduction to the Theory of the Riemann Zeta-Function |utgivare = Cambridge University Press |år = 1995-02-01 |isbn = 9780521499057}}
* {{webbref |url=http://www.mat.uab.cat/matmat/PDFv2009/v2009n06.pdf |titel=Values of the Riemann zeta function at integers |författare=Roman J. Dwilewicz, Ján Mináč |hämtdatum=2012-09-05 }}
* {{webbref |url=https://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html |titel=Riemann Zeta Function |efternamn1=Sondow |förnamn1=Jonathan |efternamn2=Weisstein |förnamn2=Eric W. |utgivare=Wolfram Research |hämtdatum=2012-09-05}}
*{{dlmf|id=25|first=T. M. |last=Apostol|title=Zeta and Related Functions}}
* {{tidskriftsref |författare=[[Jonathan Borwein]], David M. Bradley, [[Richard Crandall]] |url=http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/borwein1.pdf |format=PDF |rubrik=Computational Strategies for the Riemann Zeta Function |tidskrift=J. Comp. App. Math. |år=2000 |volym=121 |sid=247–296 |doi=10.1016/S0377-0427(00)00336-8 |nummer=1–2 |bibcode=2000JCoAM.121..247B}}
* {{tidskriftsref |förnamn1=Djurdje |efternamn1=Cvijović |förnamn2=Jacek |efternamn2=Klinowski |rubrik=Integral Representations of the Riemann Zeta Function for Odd-Integer Arguments |tidskrift=J. Comp. App. Math. |år=2002 |volym=142 |sid=435–439 |doi=10.1016/S0377-0427(02)00358-8 |mr=1906742 |nummer=2 |bibcode=2002JCoAM.142..435C}}
* {{tidskriftsref |förnamn1=Djurdje |efternamn1=Cvijović |förnamn2=Jacek |efternamn2=Klinowski |rubrik=Continued-fraction expansions for the Riemann zeta function and polylogarithms |tidskrift=Proc. Amer. Math. Soc. |år=1997 |volym=125 |sid=2543–2550 |doi=10.1090/S0002-9939-97-04102-6 |nummer=9}}
* {{Bokref |författare = H. M. Edwards |författarlänk = Harold Edwards |titel = Riemann's Zeta Function |utgivare = Academic Press |år = 1974 |isbn = 0-486-41740-9 }} Innehåller en engelsk översättning av Riemannss artikel.
* {{tidskriftsref |efternamn1=Hadamard |förnamn1=Jacques |författarlänk=Jacques Hadamard |år=1896 |rubrik=Sur la distribution des zéros de la fonction ''ζ''(''s'') et ses conséquences arithmétiques |url= |tidskrift=Bulletin de la Societé Mathématique de France |volym=14 |nummer= |sid=199–220}}
* {{Bokref |författare=G. H. Hardy |författarlänk=Godfrey Harold Hardy |titel = Divergent Series |utgivare = Clarendon Press, Oxford |år = 1949 }}
* {{tidskriftsref |författarlänk=Helmut Hasse |förnamn1=Helmut |efternamn1=Hasse |rubrik=Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ''ζ''-Reihe |år=1930 |tidskrift=Math. Z. |volym=32 |sid=458–464 |mr=1545177 |doi=10.1007/BF01194645 }} (Globalt konvergent serieutveckling.)
* {{Bokref |författare = A. Ivic |titel = The Riemann Zeta Function |utgivare = John Wiley & Sons |år = 1985 |isbn = 0-471-80634-X }}
* {{Bokref |författare = Y. Motohashi |titel = Spectral Theory of the Riemann Zeta-Function |utgivare = Cambridge University Press |år = 1997 |isbn = 0521445205 }}
* {{Bokref |author1-link = A. A. Karatsuba |författare1 = A. A. Karatsuba |författare2 = S.M. Voronin |titel = The Riemann Zeta-Function |utgivare = W. de Gruyter, Berlin |år = 1992 }}
* {{tidskriftsref |förnamn1=István |efternamn1=Mező |förnamn2=Ayhan |efternamn2=Dil |doi=10.1016/j.jnt.2009.08.005 |rubrik=Hyperharmonic series involving Hurwitz zeta function |tidskrift=Journal of Number Theory |år=2010 |volym=130 |nummer=2 |sid=360–369 |mr=2564902 }}
* {{Bokref |författarlänk = Donald J. Newman |författare = Donald J. Newman |titel = Analytic number theory |serie = [[Graduate Texts in Mathematics|GTM]] |volym = 177 |utgivare = Springer-Verlag |år = 1998 |isbn = 0-387-98308-2 }} Chapter 6.
* {{tidskriftsref |förnamn1=Guo |efternamn1=Raoh |rubrik=The Distribution of the Logarithmic Derivative of the Riemann Zeta Function |tidskrift=Proceedings of the London Mathematical Society |år=1996 |volym=s3–72 |doi=10.1112/plms/s3-72.1.1  |sid=1–27 }}
* {{tidskriftsref |förnamn=Bernhard |efternamn=Riemann |url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/ |rubrik=Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse |år=1859 |tidskrift=Monatsberichte der Berliner Akademie}}. I ''Gesammelte Werke'', Teubner, Leipzig (1892), Återutgiven av Dover, New York (1953).
* {{tidskriftsref |förnamn1=Jonathan |efternamn1=Sondow |doi=10.1090/S0002-9939-1994-1172954-7 |rubrik=Analytic continuation of Riemann's zeta function and values at negative integers via Euler's transformation of series |tidskrift=Proc. Amer. Math. Soc. |år=1994 |sid=421–424 |nummer=120 |volym=120 }}
* {{Bokref |författare = [[Edward Charles Titchmarsh|E.C. Titchmarsh]] |titel = The Theory of the Riemann Zeta Function, Second revised ([[Heath-Brown]]) edition |utgivare = Oxford University Press |år = 1986 }}
* [[E.T. Whittaker]] och [[G.N. Watson]] (1927). ''A Course in Modern Analysis'', fourth edition, Cambridge University Press (Chapter XIII).
* {{tidskriftsref |förnamn1=Jianqiang |efternamn1=Zhao |doi=10.1090/S0002-9939-99-05398-8  |rubrik=Analytic continuation of multiple zeta functions |tidskrift=Proc. Amer. Math. Soc. |år=1999 |volym=128 |sid=1275–1283 |mr=1670846 |nummer=5 }}
* {{webbref |url=http://www.math.su.se/polopoly_fs/1.141051.1373274078!/menu/standard/file/Nollstallen_Riemanns_Zetafunktion.pdf |titel=Nollställena till Riemanns Zeta-funktion och dess beteende på den kritiska linjen |författare=Linus Bergkvist |arkivurl=https://web.archive.org/web/20170202092909/http://www.math.su.se/polopoly_fs/1.141051.1373274078!/menu/standard/file/Nollstallen_Riemanns_Zetafunktion.pdf |arkivdatum=2 februari 2017 }}

==Externa länkar==
* {{Commonscat|Riemann zeta function}}


{{L-funktioner}}

{{Auktoritetsdata}}
[[Kategori:Analytisk talteori]]
[[Kategori:Zeta- och L-funktioner]]