Visa källa för Multipel-zetafunktionen

Inom [[matematik]]en är '''multipel-zetafunktionerna''' generaliseringar av [[Riemanns zetafunktion]] definierade som
:<math>
\zeta(s_1, \ldots, s_k) = \sum_{n_1 > n_2 > \cdots > n_k > 0} \ \frac{1}{n_1^{s_1} \cdots n_k^{s_k}} = \sum_{n_1 > n_2 > \cdots > n_k > 0} \ \prod_{i=1}^k \frac{1}{n_i^{s_i}},
\!</math>

och konvergerar då Re(''s''<sub>1</sub>)&nbsp;+&nbsp;...&nbsp;+&nbsp;Re(''s''<sub>''i''</sub>)&nbsp;>&nbsp;''i'' för alla&nbsp;''i''. Såsom Riemanns zeta-funktion kan multipel-zetafunktionen [[Analytisk fortsättning|fortsättas analytisk]] till en meromorfisk funktion. Då ''s''<sub>1</sub>, ..., ''s''<sub>''k''</sub> är alla positiva heltal (med ''s''<sub>1</sub>&nbsp;>&nbsp;1) kallas summorna ofta för '''multipel-zetavärden''' eller '''Eulersummor'''.

Om samma argument förekommer flera gånger brukar man skriva det kompaktare, exempelvis

: <math>\zeta(2,1,2,1,3) = \zeta(\{2,1\}^2,3).</math>

== Två parametrar ==
Med två parametrar är (där s&nbsp;>&nbsp;1 och n,m heltal)
:<math>\zeta(s,t) = \sum_{n > m \geq 1} \ \frac{1}{n^{s} m^{t}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}} \sum_{m=1}^{n-1} \frac{1}{m^t} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^{s}} \sum_{m=1}^{n} \frac{1}{m^t}</math>

:<math>\zeta(s,t)=\sum_{n=1}^\infty \frac{H_{n,t}}{(n+1)^s}</math>  där <math>H_{n,t}</math> är de generaliserade harmoniska talen.

En identitet av [[Leonhard Euler|Euler]]:

:<math>
\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{(n+1)^2} = \zeta(2,1) = \zeta(3) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}
\!</math>

där ''H''<sub>''n''</sub> är de [[harmoniskt tal|harmoniska talen]].

Speciella värden av dubbla zetafunktionen med ''s''&nbsp;>&nbsp;0 och jämnt, ''t''&nbsp;>&nbsp;1 och udda, s+t:=2N+1, definiera ''ζ''(0)&nbsp;=&nbsp;0:

:<math>\zeta(s,t)=\zeta(s)\zeta(t)+\tfrac{1}{2}\Big[\tbinom{s+t}{s}-1\Big]\zeta(s+t)-\sum_{r=1}^{N-1}\Big[\tbinom{2r}{s-1}+\tbinom{2r}{t-1}\Big]\zeta(2r+1)\zeta(s+t-1-2r).
</math>

==Eulers reflektionsformel==
Multipel-zetafunktionen satisfierar Eulers reflektionsformel:
:<math>\zeta(a,b)+\zeta(b,a)=\zeta(a)\zeta(b)-\zeta(a+b)</math> för <math>a,b>1</math>

Man kan även bevisa att:<ref name="Broadhurst">{{webbref |efternamn1=Broadhurst |förnamn1=D. J. |titel=On the enumeration of irreducible k-fold Euler sums and their roles in knot theory and field theory. |url=https://arxiv.org/abs/hep-th/9604128 |år=1996 }}</ref>

:<math>\zeta(a,b,c)+\zeta(a,c,b)+\zeta(b,a,c)+\zeta(b,c,a)+\zeta(c,a,b)+\zeta(c,b,a)=\zeta(a)\zeta(b)\zeta(c)+2\zeta(a+b+c)-\zeta(a)\zeta(b+c)-\zeta(b)\zeta(a+c)-\zeta(c)\zeta(a+b)</math> för <math>a,b,c>1.</math>

== Andra resultat ==
För positiva heltal <math>a,b,\dots,k</math>:

:<math>\sum_{n=2}^{\infty} \zeta(n,k) = \zeta(k+1)</math> eller mer allmänt

:<math>\sum_{n=2}^{\infty} \zeta(n,a,b,\dots,k) = \zeta(a+1,b,\dots,k)</math>

:<math>\lim_{k \to \infty}\zeta(n,k) = \zeta(n)-1</math>

:<math>\zeta(a,a)=\tfrac{1}{2}\Big[(\zeta(a))^{2}-\zeta(2a)\Big]</math>

:<math>\zeta(a,a,a)=\tfrac{1}{6}(\zeta(a))^{3}+\tfrac{1}{3}\zeta(3a)-\tfrac{1}{2}\zeta(a)\zeta(2a).</math>

== Referenser ==
* {{Enwp|url=//en.wikipedia.org/w/index.php?title=Multiple_zeta_function&oldid=580674325|artikel=Multiple zeta function|datum=23 december 2013}}

=== Allmänna källor ===

* {{tidskriftsref |efternamn1=Tornheim |förnamn1=Leonard |rubrik=Harmonic double series |doi=10.2307/2372034 |mr=0034860 |år=1950 |tidskrift=[[American Journal of Mathematics]] |issn=0002-9327 |volym=72 |sid=303–314}}
* {{tidskriftsref |efternamn1=Mordell |förnamn1=Louis J. |författarlänk1=Louis Mordell
|rubrik=On the evaluation of some multiple series |doi=10.1112/jlms/s1-33.3.368  
|mr=0100181 
|år=1958 
|tidskrift=Journal of the London Mathematical Society 
|serie=Second Series
|issn=0024-6107 
|volym=33 
|sid=368–371}}
* {{tidskriftsref |efternamn1=Apostol |förnamn1=Tom M. |författarlänk1=Tom M. Apostol |efternamn2=Vu |förnamn2=Thiennu H. 
|rubrik=Dirichlet series related to the Riemann zeta function 
|doi=10.1016/0022-314X(84)90094-5 
|år=1984 
|tidskrift=[[Journal of Number Theory]] 
|issn=0022-314X 
|volym=19 
|nummer=1 
|mr=0751166 
|sid=85–102}}
* {{tidskriftsref
|förnamn1=Richard E.
|efternamn1=Crandall
|förnamn2=Joe P.
|efternamn2=Buhler
|rubrik=On the evaluation of Euler Sums
|år=1994
|tidskrift=Experimental Mathematics
|volym=3
|nummer=4
|url=http://www.emis.de/journals/EM/expmath/volumes/3/3.html
|sid=275
|mr=1341720
}}
* {{tidskriftsref
|förnamn1=Jonathan M.
|efternamn1=Borwein
|förnamn2=Roland
|efternamn2=Girgensohn
|rubrik=Evaluation of Triple Euler Sums
|år=1996
|tidskrift=El. J. Combinat.
|volym=3
|nummer=1
|sid=#R23
|mr=1401442
|url=http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v3i1r23
}}
* {{tidskriftsref |förnamn1=Philippe |efternamn1=Flajolet
|förnamn2=Bruno |efternamn2=Salvy
|rubrik=Euler Sums and contour integral representations
|tidskrift=Exp. Math.
|år=1998
|volym=7
|url=http://www.emis.de/journals/EM/expmath/volumes/7/7.html
}}
* {{tidskriftsref |efternamn=Zhao |förnamn=Jianqiang
|rubrik=Analytic continuation of multiple zeta functions
|doi=10.1090/S0002-9939-99-05398-8 
|år=1999
|tidskrift=Proceedings of the American Mathematical Society
|nummer=5
|volym=128
|sid=1275–1283
|mr=1670846}}
* {{bokref |efternamn=Matsumoto |förnamn=Kohji
|kapitel=On Mordell–Tornheim and other multiple zeta-functions |titel=Proceedings of the Session in Analytic Number Theory and Diophantine Equations
|serie=Bonner Math. Schriften |volym=360 |utgivare=Univ. Bonn
|utgivningsort=Bonn
|mr=2075634
|år=2003}}
* {{webbref
|förnamn1=Olivier
|efternamn1=Espinosa
|förnamn2=Victor H.
|efternamn2=Moll
|url=https://arxiv.org/abs/0811.0557
|titel=The evaluation of Tornheim double sums
|år=2008
}}
* {{tidskriftsref
|förnamn1=Olivier
|efternamn1=Espinosa
|förnamn2=Victor H.
|efternamn2=Moll
|rubrik=The evaluation of Tornheim double sums II
|tidskrift=Ramanujan J.
|år=2010
|volym=22
|sid=55–99
|mr=2610609
|doi=10.1007/s11139-009-9181-1
}}
* {{tidskriftsref |efternamn1=Borwein |förnamn1=J.M. |författarlänk1=J.M. Borwein |efternamn2=Chan |förnamn2=O-Y.
|rubrik=Duality in tails of multiple zeta values
|år=2010
|doi=10.1142/S1793042110003058
|tidskrift=Int. J. Number Theory
|volym=6
|nummer=3
|mr=2652893
|sid=501–514
}}
* {{tidskriftsref |förnamn1=Ankur |efternamn1=Basu
|rubrik=On the evaluation of Tornheim sums and allied double sums
|år=2011
|doi=10.1007/s11139-011-9302-5
|tidskrift=Ramanujan J.
|volym=26
|sid=193–207
|nummer=2
|mr=2853480
}}

==Referenser==
<references/>

[[Kategori:Zeta- och L-funktioner]]