Visa källa för Moore–Penroses pseudoinvers

'''Moore–Penroses pseudoinvers''' är inom [[linjär algebra]] en generalisering av vissa egenskaper hos [[matrisinvers]]en för icke-kvadratiska matriser, uppkallad efter [[Eliakim Hastings Moore]] och [[Roger Penrose]], som beskrev den oberoende av varandra [[Vetenskapsåret 1920|1920]] respektive [[Vetenskapsåret 1955|1955]].

==Definition==
Moore–Penroses pseudoinvers till en [[matris (matematik)|matris]] <math> A </math> är en matris <math> A^+ </math> som uppfyller:

# <math>A A^+A = A</math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; (<math>A A^+</math> behöver inte vara en [[enhetsmatris]], men ska avbilda alla [[kolonnvektor]]er i <math>A</math> på sig själva);
# <math>A^+A A^+ = A^+</math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; (<math>A^+</math> is är en svag invers för den multiplikativa [[semigrupp]]en);
# <math>(AA^+)^* = AA^+</math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; (<math>AA^+</math> är en [[hermitesk matris]])
# <math>(A^+A)^* = A^+A</math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; (<math>A^+A</math> är också hermitesk).

<math> A^* </math> är det [[hermiteskt konjugat|hermiteska konjugatet]] till <math> A </math>. För reella matriser är detta samma sak som [[transponat]]et.

==Egenskaper==
Givet en matris <math> A </math> med Moore–Penroses pseudoinvers <math> A^+ </math>, gäller följande:
*<math> A^+ </math> är unik.
*Om <math> A </math> är en [[inverterbar matris]], är <math> A^{-1} = A^+ </math>.
*Pseudoinversen av pseudoinversen är den ursprungliga matrisen, <math> (A^+)^+ = A </math>.
*<math> AA^+ </math> är en ortogonal [[projektion (linjär algebra)|projektion]] på <math> A </math>s [[värderum]].
*<math> A^+A </math> är en ortogonal projektion på <math> A^* </math>s [[värderum]].
*Pseudoinversen till en [[nollmatris]] är dess transponat.

==Specialfall==
===Ortonormala rader och kolonner===
Om <math> A </math> har ortonormala kolonnvektorer (<math>AA^* = I</math>) eller ortonormala [[radvektor]]er (<math> A^*A = I </math> så är <math> A^+ = A^*</math>).

===Linjärt oberoende kolonner och rader===
Om kolonnerna i <math> A </math> är [[linjärt oberoende]] är <math> A^*A </math> inverterbar och Moore–Penroses pseudoinvers kan beräknas med:
:<math>A^+ = (A^*A)^{-1}A^*</math>.
Det följer då att <math> A^+ </math> är [[vänsterinvers]] till <math> A </math>.

Om raderna i <math> A </math> är [[linjärt oberoende]] är <math> AA^* </math> inverterbar och Moore–Penroses pseudoinvers kan beräknas med:
:<math>A^+ = A^*(AA^*)^{-1}</math>.
Det följer då att <math> A^+ </math> är [[högerinvers]] till <math> A </math>.

==Beräkning==
===Singulärvärdesfaktorisering===
Om matrisen <math> A </math> har [[singulärvärdesfaktorisering]]en <math> A = U \Sigma V^* </math> så fås <math> A^+ = V \Sigma^+ U^* </math>. Pseudoinversen av <math> \Sigma </math>, som är en "nästan diagonal" matris med matrisens [[singulärvärden]] i diagonalen, genom att ersätta varje element <math> \sigma_i </math> i diagonalen med <math> \frac{1}{\sigma_i} </math>. Exempel:

:<math>\Sigma = \begin{pmatrix}
\sigma_1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \sigma_2 & 0 & 0\\
0 & 0 & \sigma_3 & 0
\end{pmatrix}
~~
\Sigma^+ = \begin{pmatrix}
\frac{1}{\sigma_1} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{\sigma_2} & 0 & 0\\
0 & 0 & \frac{1}{\sigma_3} & 0
\end{pmatrix}
</math>

==Tillämpningar==
Moore–Penroses pseudoinvers ger en [[minstakvadratmetoden|minsta kvadrat-lösning]] till system av linjära ekvationer. Om systemet ges av <math> Ax = b </math> ges minsta kvadrat-lösningen av <math> x = A^+b </math>.

[[Kategori:Linjär algebra]]
[[Kategori:Matristeori]]