Visa källa för Lp-rum

Ett '''<math>L^p</math>-rum''' är ett [[funktionsrum]] inom matematik. <math>L^p</math>-rummet består av funktioner som är '' [[Lebesgueintegration|''p''-integrerbara]]''. Man behöver <math>L^p</math>-rummet till exempel inom [[måtteori]] och [[funktionalanalys]].

== Formell definition ==

<math>L^p</math>-rummet är en måtteoretisk konstruktion och man kan bara definiera det för måttrum.

Låt <math>1 \leq p < \infty</math> och <math>(X,\mathcal{F},\mu)</math> vara ett [[måttrum]] så att måttet µ är ett [[fullständigt mått]]. Man behöver fullständighet här eftersom man vill integrera ''alla'' delmängder för en [[nollmängd]].

För [[mätbar funktion|mätbara funktioner]] <math>f : X \rightarrow \overline{\R}</math> definierar man '''<math>L^p</math>-normen'''

:<math>\|f\|_p := \left( \int_X |f|^p \,d\mu \right)^{1/p}</math>,

dvs <math>L^p</math>-normen är en ''p''-rot av [[måttintegral]]en för funktionen <math>|f|^p</math>. För <math>p = \infty</math> definieras  '''<math>L^\infty</math>-normen''':

:<math>\|f\|_\infty := \mbox{ess sup} \, |f|</math>,

där '''ess sup''' är [[väsentligt supremum]].

<math>L^p</math>-normen, med <math>1 \leq p \leq \infty</math>, är inte en [[norm (matematik)|norm]] för alla mätbara funktioner. Men man kan definiera ett rum där det är en norm. <math>\mathcal L^p</math>-rummet, för ett fixt ''p'', är mängden:

:<math>\mathcal L^p = \mathcal L^p (X,\mathcal{F},\mu) := \{f : \|f\|_p < \infty\}</math>.

<math>\mathcal L^p</math>-rummet är ett [[vektorrum]].  Eftersom man har definierat <math>L^p</math>-rummet utifrån en måttstruktur så är <math>\mathcal L^p</math>-normen bara en [[seminorm]], dvs

:<math>\|f+g\|_p \leq \|f\|_p +\|g\|_p</math>

och

:<math>\|af\|_p = |a|\|f\|_p</math>

för <math>f,g \in \mathcal L^p\,</math> och <math>a \in \R</math> men det finns måttrum och funktioner där 

:<math>\|f\|_p = 0</math> men <math>f \neq 0</math>

gäller, exempelvis om man tar den vanliga måttstrukturen på de reella talen, med [[Borelalgebra]]n som [[sigma-algebra]] och Lebesguemåttet som mått, då <math>f = \chi_\N\,</math> är ett exempel på en funktion som är nollskild men har en norm som är noll. Detta visar att <math>L^p</math>-normen inte är en norm på detta rum.

För att få en riktig norm definierar man en [[ekvivalensrelation]] i <math>\mathcal L^p</math> genom att
 
:<math>f\sim g \,</math> om och endast om <math>\| f - g \|_p=0</math> 

och definiera '''<math>L^p</math>-normen''' för ekvivalensklasser 

:<math>\| f^\sim \|_p := \| f \|_p</math> 

där <math> f^\sim </math> är [[ekvivalensklass]]en med representant ''f'':

:<math>f^\sim := \{g \in \mathcal L^p : f \sim g \}.</math>

Kvotrummet <math> L^p = \mathcal L^p / \sim</math> med <math>L^p</math>-normen kallas för <math>L^p</math>-'''rummet'''. I rummet <math>L^p</math> identifieras funktioner ''f'' och ''g'' vars skillnad ''f - g'' har en norm som är noll. Exempelvis,  från exemplet ovan, identifieras <math>f = \chi_\N\,</math> med funktionen ''g'' = 0.

== <math>\ell^p</math>-rum ==

Som ett specialfall av <math>L^p</math>-rum kan man få de så kallade <math>\ell^p</math>-rummen. Om ''X'' är [[uppräknelig]] och måttet µ är [[räknemått]]et betecknas

:<math>\ell^p := L^p\,</math>,

så att för <math>1 \leq p < \infty\,</math>

:<math>\ell^p = \left\{(x_i)_{i=1}^\infty : \sum_{i=1}^\infty |x_i|^p< \infty\right\},</math>

dvs, <math>\ell_p</math> kan ses som alla [[följd]]er i ''X'' så att summan av termerna upphöjt till ''p'' konvergerar.

Man får också:

:<math>\ell^\infty = \left\{(x_i)_{i=1}^\infty : \sup_{i\in\N} |x_i|< \infty\right\}.</math>

dvs, <math>\ell^\infty</math>-rummet är rummet av alla [[begränsad följd|begränsade följder]].

== Egenskaper ==

Nedan finns några egenskaper för <math>L^p</math>-rummen och normerna.

=== Olikheter ===

[[Hölders olikhet]]: om <math>p>1\,</math> och <math>q>1\,</math> med

:<math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\,</math>,

och <math>f \in L^p</math> och <math>g \in L^q</math> så är

:<math>\|fg\|_1 \leq \|f\|_p \|g\|_q</math>.

Om <math>p=1\,</math> och <math>q=\infty</math> så är

:<math>\|fg\|_1 \leq \|f\|_1 {\| g \|}_\infty </math>.

Talen ''p'' och ''q'' kallas för '''Hölderkonjugat'''.

[[Minkowskis olikhet]]: Man kallar ofta [[triangelolikheten]]

:<math>\|f+g\|_p \leq \|f\|_p +\|g\|_p</math>

när <math>f,g \in L^p\,</math> för '''Minkowskis olikhet'''.

=== Dualrummet ===

Om ''p'' och ''q'' är Hölderkonjugat så är <math>L^p\,</math>:s [[dualrum]]met <math>(L^p)^*\,</math> [[Isomorfism|isomorf]] till <math>L^q\,</math>, dvs

:<math>(L^p)^* \cong L^q\,</math>.

Därför säger man ofta att <math>L^p</math>:s dualrum är <math>L^q</math>.

Notera att det finns måttrum där <math>(L^\infty)^*\,</math> inte är isomorf med <math>L^1\,</math>.

== Se även ==

*[[Lebesgueintegration]]
*[[Funktionalanalys]]
*[[Måtteori]]
*[[Fouriertransform]]
*[[Tb-sats]]

== Referenser ==

* W. Rudin, ''Functional analysis'', McGraw-Hill, 1991
* P. Halmos, ''Measure theory'', D. van Nostrand and Co., 1950
* M. E. Munroe, ''Introduction to Measure and Integration'', Addison Wesley, 1953
* R. M. Dudley, ''Real Analysis and Probability'', Cambridge University Press, 2002
* G. B. Folland, ''Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications'', John Wiley, 1984 
*https://web.archive.org/web/20131111192546/https://www.doria.fi/bitstream/handle/10024/2842/avaruude.pdf?sequence=1



[[Kategori:Måtteori]]
[[Kategori:Funktionalanalys]]
[[Kategori:Normerade rum]]