Visa källa för LF-fördelning

En '''LF-fördelning''' (engelska ''linear fractional distributions'') är en fördelning vars [[sannolikhetsgenererande funktion]] kan skrivas som [[Kvot|kvoten]] mellan två [[Linjär avbildning|linjära funktioner]]. En [[rationell funktion]] med [[Linjär avbildning|linjära funktioner]] i täljare och nämnare ges av<blockquote><math>g(x) = \frac{a + bx}{c + dx}</math></blockquote>där <math>a,b,c</math> och <math>d</math> är godtyckliga konstanter. En slumpvariabel <math>X</math> sägs vara LF-fördelad med parametrarna <math>p_0,p \in [0, 1]</math> om dess [[sannolikhetsgenererande funktion]] kan skrivas som<ref name=":0">{{Bokref|titel=Branching Processes|url=http://link.springer.com/10.1007/978-3-642-65371-1|utgivare=Springer Berlin Heidelberg|datum=1972|hämtdatum=2020-04-08|isbn=978-3-642-65373-5|doi=10.1007/978-3-642-65371-1|förnamn=Krishna B.|efternamn=Athreya}}</ref><blockquote><math>f(s) = E[s^X] = p_0 + (1 - p_0) \frac{ps}{1 - (1 - p)s}.</math></blockquote>Notera att fördelningen kan skrivas på formen av ett linjärt bråk då <blockquote><math>f(s) = \frac{p_0 + (p - p_0)s}{1 + (p - 1) s}.</math></blockquote>Det behövs dock endast två fria parametrar <math>p</math> och <math>p_0</math> eftersom <math>f</math> är en genererande funktion med egenskaperna <math>f(0) = p_0</math> och <math>f(1) = 1</math>. Tolkningen av LF-fördelningen är att det ger det totala antalet barn, där sannolikheten för det första barnet är <math>1-p_0</math> och sannolikheten att få barn efter det första barnet är <math>1- p</math> för varje barn<ref name=":0" />.  LF-fördelningar är användbara för att få den genererande funktionen på en enklare form, särskilt efter upprepad applikation av funktionen.

== Koppling till geometrisk fördelning ==
En slumpvariabel <math>X</math>, fördelad efter den diskreta fördelningen<blockquote><math>P(X = k) = p_k = \begin{cases} p_0, & \text{om } k = 0 \\ p(1-p_0)(1-p)^{k-1}, & \text{om }k \geq 1 \end{cases}</math></blockquote>har ekvation <math>f</math> som [[sannolikhetsgenererande funktion]] för <math>|s(1-p)|<1</math><ref name=":0" />. Då kan vi se att LF-fördelningen är nära besläktad med den [[Geometrisk fördelning|geometriska fördelningen]]. Om <math>p_0 = p</math> så får vi att<blockquote><math>f(s) = \frac{p}{1 - (1 - p) s},</math></blockquote>vilket är den [[Sannolikhetsgenererande funktion|sannolikhetsgenererande funktionen]] för den [[Geometrisk fördelning|geometriska fördelningen]]<ref>{{Bokref|upplaga=2nd ed|titel=Probability, statistics, and stochastic processes|url=https://www.worldcat.org/oclc/795795373|utgivare=Wiley|datum=2012|hämtdatum=2020-04-08|isbn=978-1-118-23129-6|oclc=795795373|efternamn=Olofsson, Peter, 1963-}}</ref>. Så om <math>X\overset{D}{\sim} \text{Geom}(p)</math> så är <math>f(s)|_{p_0 = p} = G_X(s)</math>. Dessutom, om <math>p_0 = 0</math> får vi<blockquote><math>f(s)_{p_0 = 0} = \frac{ps}{1 - (1 - p)s} = G_{X+1}(s)</math></blockquote>vilket är den [[Sannolikhetsgenererande funktion|sannolikhetsgenererande funktionen]] för den skiftade geometriska fördelningen (benämnd ''för-första-gången-fördelning'' i artikeln om [[geometrisk fördelning]]).  Vidare är <math>P(X>0)=1-p_0</math> och <math>X</math> givet <math>X>0</math> är fördelad enligt den skiftade geometriska fördelningen .

== Användning i Galton-Watson-processen ==
LF-fördelningen kan användas som [[reproduktionsfördelning]] i [[Galton-Watson processen|Galton-Watson-processen]]. Vi har från egenskaper av [[Sannolikhetsgenererande funktion|sannolikhetsgenererande funktioner]]<ref name=":02">{{Bokref|titel=Introduction to stochastic processes with R|url=https://www.worldcat.org/oclc/922799569|hämtdatum=2020-03-26|isbn=978-1-118-74072-9|oclc=922799569|efternamn=Dobrow, Robert P.,}}</ref> att väntevärdet ges av <blockquote><math>\mu =  E[Z_1] = f'(1) = \frac{(1-p_0)p}{(1 - (1-p) s)^2}\bigg|_{s = 1} = \frac{1-p_0}{p}</math>.</blockquote>De tre fallen <math>\mu < 1</math>, <math>\mu = 1</math> och <math>\mu > 1</math> benämns de subkritiska, kritiska respektive superkritiska fallen för processen<ref name=":02" />. I LF-fallet har vi då att <math>1-p_0 < p</math> i det subkritiska fallet, <math>1-p_0 = p</math> i det kritiska fallet och <math>1-p_0 > p</math> i det superkritiska fallet.

== Upprepad applicering ==
Om vi betraktar en kvot av två linjära funktioner är det tydligt att den har samma form även vid upprepad sammansättning <math>g(g( \dots g(x)\dots )</math> eftersom<blockquote><math>\frac{a + b\frac{a + bx}{c + dx}}{c + d\frac{a + bx}{c + dx}} = \frac{ac + adx + ab + b^2x}{c^2 + cdx + ad + bdx} =

\frac{ac + ab + (ab + b^2) x}{c^2 + ad + (cd + bd) x} = \frac{a' + b' x}{c' + d' x}.</math></blockquote>Då LF-fördelningen kan skrivas som en kvot av två linjära funktioner gäller det att sammansättningen också är en LF-fördelning.

LF-fördelningen upprepad <math>n</math> gånger kan alltså skrivas som<ref name=":0" /><blockquote><math>f_n(s) = f(f(\ldots f(s)\ldots)) = p_0^{(n)} + (1 - p_0^{(n)}) \frac{p^{(n)}s}{1 - (1 - p^{(n)})s}.</math></blockquote>Från egenskaper av [[Sannolikhetsgenererande funktion|sannolikhetsgenererande funktioner]] och koppling till [[Galton-Watson processen|Galton-Watson-processen]] kan vi få ett uttryck av <math>f_n
</math> i bara <math>p_0,p</math>. Parametrarna <math>p^{(n)}, p_0^{(n)}</math> i <math>f_n</math> kan uttryckas som<blockquote>  <math>\left\{\begin{aligned}
&p^{(n)} = \frac{1 - \frac{p_0}{1 - p}}{\left(\frac{1 - p_0}{p}\right)^n- \frac{p_0}{1 - p}}, \\
 &p_0^{(n)} = \frac{1 - \left(\frac{p}{1 - p_0}\right)^n} {\frac{1-p}{p_0} - \left(\frac{p}{1 - p_0}\right)^n},
\end{aligned}
\right.</math></blockquote>där <math>p</math> och <math>p_0
</math> är parametrarna i LF-fördelningen <math>f</math>. I det kritiska fallet, då <math>p = 1 - p_0</math> gäller specifikt<blockquote><math>\left\{\begin{aligned}

p^{(n)} &= \frac{p}{p + (1-p)n}, \\

 p_0^{(n)} &= \frac{(1-p)n}{p + (1-p)n}.

\end{aligned}

\right.</math></blockquote>Dessa uttryck är användbara för analys av [[Galton-Watson processen|Galton-Watson-processen]].

== Referenser ==
<references/>
[[Kategori:Sannolikhetsfördelningar]]