Visa källa för J-invarianten

{{Fotnoter|datum=2020-09}}
{{VISATITEL:''j''-invarianten}}
[[Image:KleinInvariantJ.jpg|right|thumb|200px|Kleins j-invariant i komplexa planet]]

Inom [[matematik]]en är [[Felix Klein|Kleins]] '''''j''-invariant''', sedd som en funktion av [[komplexanalys|komplexa variabeln]]&nbsp;''τ'', en [[modulär funktion]] av vikt noll för {{math|SL(2, '''Z''')}} definierad i [[övre planhalvan]] av [[Komplexa tal|komplexa planet]]. Den är den unika funktionen med dessa egenskaper som är analytisk förutom vid en spets där den har en enkel pol så att 

:<math>j\left(e^{\frac{2}{3}\pi i}\right) = 0, \quad j(i) = 1728.</math>

[[Rationell funktion|Rationella funktioner]] av j är modulära, och det kan visas att alla modulära funktioner är av denna form. j-invarianten studerades klassiskt som en parametrisering av [[elliptisk kurva|elliptiska kurvor]] över {{math|'''C'''}}, men den har även överraskande samband med symmetrierna av [[Monstergruppen]].

== Fourierexpansion ==
''j''-invariantens [[Fourierserie|Fourierexpansion]] i variabeln {{math|''q'' {{=}} exp(2''πiτ'')}} börjar

:<math>j(\tau) = {1 \over q} + 744 + 196884 q + 21493760 q^2 + 864299970 q^3 + 20245856256 q^4 + \cdots</math>

Alla koefficienterna är heltal, vilket resulterar i flera [[nästan-heltal]], såsom [[Ramanujans konstant]]: 

:<math>e^{\pi \sqrt{163}} \approx 640320^3 + 744</math>.

== Alternativa uttryck ==
Följande formel gäller

:<math>j(\tau) = \frac{256(1-x)^3}{x^2} </math>

där {{math|''x'' {{=}} ''λ''(1−''λ'')}} och {{math|λ}} är [[modulära lambdafunktionen]]. Värdet av {{math|j}} förblir oförändrat då λ ersätts med något av de sex värdena
:<math>\left\lbrace { \lambda, \frac{1}{1-\lambda}, \frac{\lambda-1}{\lambda}, \frac{1}{\lambda}, \frac{\lambda}{\lambda-1}, 1-\lambda } \right\rbrace.</math>

== Klasskroppsteori och {{mvar|j}}==
{{mvar|j}}-invarianten har många remarkabla egenskaper: 

*Om {{mvar|τ}} är ett [[singulärt moduli]], d.v.s. ett godtyckligt element av en imaginär [[kvadratisk kropp]] med positiv imaginär del (så att {{mvar|j}} är definierad), då är {{math|''j''(''τ'')}} ett [[algebraiskt heltal]].<ref>{{Bokref|förnamn=Joseph H. |efternamn=Silverman |författarlänk=Joseph H. Silverman |titel=The Arithmetic of Elliptic Curves |serie=[[Graduate Texts in Mathematics]] |utgivare=[[Springer-Verlag]] |volym=106 |år=1986 |isbn=0-387-96203-4 |zbl=0585.14026 |sid=339 }}</ref> 

* [[Kroppsutvidgning]]en {{math|'''Q'''[''j''(''τ''), ''τ'']/'''Q'''(''τ'')}} är [[abelsk utvidgning|abelsk]], d.v.s. har [[abelsk grupp|abelsk]] [[Galoisgrupp]].

== Formler för pi ==
Genom att använda formeln <math>j\big(\tfrac{1+\sqrt{-163}}{2}\big) = -640320^3</math> bevisade [[Chudnovskybröderna]] 1987 formlen

:<math>\frac{1}{\pi} = \frac{12}{640320^{3/2}} \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (163 \cdot 3344418k + 13591409)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}.</math>

== Källor ==
* {{Enwp|url=//en.wikipedia.org/w/index.php?title=J-invariant&oldid=604030553|artikel=j-invariant|datum=15 april 2014}}
* {{Citation|first=Tom M.|last=Apostol|authorlink=Tom M. Apostol|title=Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory|mr=0422157|year=1976|publisher=Springer-Verlag|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=41|location=New York}}. Provides a very readable introduction and various interesting identities.
** {{Citation|first=Tom M.|last=Apostol|authorlink=Tom M. Apostol|title=Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory|edition=2nd |year=1990 |isbn=0-387-97127-0|mr=1027834}}
* {{Citation|doi=10.4153/CMB-1999-050-1|first1=Bruce C.|last1=Berndt|author1-link=Bruce C. Berndt|first2=Heng Huat|last2=Chan|title=Ramanujan and the modular j-invariant|url=http://www.journals.cms.math.ca/cgi-bin/vault/public/view/berndt7376/body/PDF/berndt7376.pdf|journal=Canadian Mathematical Bulletin|volume=42|issue=4|year=1999|pages=427–440|mr=1727340|archiveurl=https://web.archive.org/web/20070929105913/http://www.journals.cms.math.ca/cgi-bin/vault/public/view/berndt7376/body/PDF/berndt7376.pdf|archivedate=2007-09-29}}. Provides a variety of interesting algebraic identities, including the inverse as a hypergeometric series.
* {{Citation|first=David A.|last=Cox|authorlink=David A. Cox|title=Primes of the Form x^2 + ny^2: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication|mr=1028322|year=1989|publisher= Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons Inc.|location=New York}} Introduces the j-invariant and discusses the related class field theory.
* {{Citation|first1=John Horton|last1=Conway|author1-link=John Horton Conway|first2=Simon|last2=Norton|author2-link=Simon P. Norton|title=Monstrous moonshine|journal=Bulletin of the London Mathematical Society|volume=11|issue=3|year=1979|pages=308–339|mr=0554399|doi=10.1112/blms/11.3.308}}. Includes a list of the 175 genus-zero modular functions.
* {{Citation|first=Hans|last=Petersson|authorlink=Hans Petersson (matematiker)|title=Über die Entwicklungskoeffizienten der automorphen Formen|journal=Acta Mathematica|volume=58|issue=1|year=1932|pages=169–215|mr=1555346|doi=10.1007/BF02547776}}.
* {{Citation|first=Hans|last=Rademacher|authorlink=Hans Rademacher|title=The Fourier coefficients of the modular invariant j(τ)|journal=American Journal of Mathematics|volume=60|year=1938|pages=501–512|mr=1507331|issue=2|doi=10.2307/2371313|publisher=The Johns Hopkins University Press|jstor=2371313}}.
* {{Citation|first=Robert A.|last=Rankin|authorlink=Robert Alexander Rankin|title=Modular forms and functions|year=1977|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge|isbn=0-521-21212-X|mr=0498390}}. Provides a short review in the context of modular forms.
* {{Citation|first=Theodor|last=Schneider|authorlink=Theodor Schneider|title=Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale|journal=Math. Annalen|volume=113|year=1937|pages=1–13|mr=1513075|doi=10.1007/BF01571618}}.
===Fotnoter===
<references/>

[[Kategori:Modulära former]]
[[Kategori:Elliptiska funktioner]]