Visa källa för Haarmått

'''Haarmått''' är ett [[Mått (matematik)|mått]] i [[lokalt kompakt]]a [[topologisk grupp|topologiska grupper]] så att det är ''volyminvariant''. Till exempel är [[Lebesguemått]]et Haarmåttet i <math>\R^n</math>.

== Translation-invariant mått ==

Låt <math>(G,\circ)</math> vara en [[Grupp (matematik)|grupp]].

Om <math>A \subset G</math> och <math>g \in G</math> kallas mängden

: <math>gA = g \circ A := \{g \circ a : a \in A\}</math>

för ''vänstertranslationen'' för ''A'' och mängden

: <math>Ag = A \circ g := \{a \circ g : a \in A\}</math>

för ''högertranslationen'' för ''A''.

En [[sigma-algebra]] <math>\mathcal{F} \,</math> i <math>G\,</math> är ''vänstertranslationsinvariant'' om

: för alla <math>A \in \mathcal{F}</math> och <math>g \in G\,</math> är <math>gA \in \mathcal{F}</math>,

likartat kan man definiera egenskapen att en sigmaalgebra är ''högertranslationsinvariant''.

Om <math>\mathcal{F} \,</math> är en vänstertranslationsinvariant sigma-algebra så är [[Mått (matematik)|mått]]et <math>\mu : \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]</math> '''vänstertranslationsinvariant''' om

: för alla <math>A \in \mathcal{F}</math> och <math>g \in G\,</math> är <math>\mu (gA) = \mu (A)\,</math> ,

likartat kan man definiera att ett mått är '''högertranslationsinvariant'''.

== Haarmått ==

Låt <math>(G,\circ)</math> vara en lokalt kompakt topologisk grupp, dvs 
* paret <math>(G,\circ)</math> är en [[Grupp (matematik)|grupp]],
* rummet <math>G\,</math> är ett [[lokalt kompakt]] [[topologiskt rum]]
* avbildningen <math>G \times G \to G:(g,h)\mapsto g\circ h </math> är [[kontinuerlig]] (i [[produkttopologi]]n) och
* avbildningen <math>G \to G: g \mapsto g^{-1} </math> är kontinuerlig.

Då är [[Borelmängd]]erna <math>\mbox{Bor} \, G</math> en vänster- och högertranslationsinvariant sigma-algebra.

Det går att visa att det alltid finns (utan konstant) endast ett [[Radonmått]] 

:<math>\mu_v : \mbox{Bor} \, G \rightarrow [0,\infty]</math> 

som är vänstertranslationsinvariant. Vi kallar detta mått '''vänster-Haarmåttet'''. 

Man kan även visa att det alltid finns (utan konstant) endast ett [[Radonmått]] 

:<math>\mu_h : \mbox{Bor} \, G \rightarrow [0,\infty]</math> 

som är vänster-translation-invariant som kallas '''höger-Haarmåttet'''. 

Med ''utan konstant'' menas att Radonmåttet <math>\mu \,</math> i <math>G \,</math> är vänstertranslationsinvariant [[om och endast om]] det finns <math>c \geq 0</math> så att <math>\mu = c\mu_v\,</math>, likaså för det högertranslationsinvarianta måttet.

Det finns grupper <math>G \,</math> där <math>\mu_v \neq \mu_h\,</math>, men om 

:<math>\mu_v = \mu_h\,</math> 

i <math>G \,</math> kallar vi måttet 

:<math>\mathfrak{h}_G := \mu_v = \mu_h</math>

för '''Haarmåttet'''.

== Egenskaper ==

* Givet ett höger-Haarmått <math>\mu </math> kan ett möjligen nytt höger-Haarmått <math> \nu </math> skapas genom att definiera

:<math>\nu(S) = \mu(g^{-1}S)\,</math>

där <math> g </math> är ett element i den överliggande gruppen <math> G </math> och <math> S </math> är en Borelmängd. Då alla höger-Haarmått på en grupp är unika upp till en konstant finns således ett reellt tal <math> \Delta (g) </math> sådant att

:<math>\nu (S) = \mu(g^{-1}S) = \Delta (g)\mu (S). </math>  

Eftersom ett nytt höger-Haarmått kan skapas för varje element <math> g </math> i gruppen så kan <math> \Delta </math> ses som en funktion från gruppen till de positiva reella talen och brukar kallas '''modulärfunktionen'''. Notera att modulärfunktionen är oberoende av vilket höger-Haarmått som väljs för att definiera den eftersom givet två höger-Haarmått <math>\mu </math> och <math>\nu </math> så finns det en konstant <math>k </math> så att <math>\nu = k\mu </math>. Detta ger

:<math>\nu(g^{-1}S) = k\mu(g^{-1}S) = k\Delta(g)\mu(S) = \Delta(g)\nu(S). </math>

* Om gruppen <math>G \,</math> är en [[abelsk grupp]] så är <math>\mu_v = \mu_h\,</math>.

== Exempel ==

* Rummet <math>(\R^n,+)</math> är en lokalt kompakt topologisk grupp med [[norm (matematik)|normtopologi]]. Dessutom är [[Lebesguemått]]et över Borelmängder höger- och vänstertranslationsinvariant, dvs

: för alla <math>A \in \mbox{Bor} \, \R^n</math> och <math>x \in \R^n\,</math> gäller att <math>\mathcal{L}^n (x+A) = \mathcal{L}^n (A) = \mathcal{L}^n (A + x)\,</math>.

Så att Lebesguemåttet är Haarmåttet i <math>\R^n</math>:

: <math>\mathfrak{h}_{\R^n} = \mathcal{L}^n</math>.

Detta innebär också att Lebesguemåttet är (utan konstant) det enda höger- och vänstertranslationsinvarianta måttet i <math>\R^n</math>.

* Andra viktiga exempel för Haarmåttet är [[vridningsinvariant mått]] i [[ortogonalgrupp]]en, dvs

:<math>\mathfrak{h}_{O(n)} = \theta_n </math>.

== Källor ==
* Paul Halmos (1950), ''Measure Theory'', D. van Nostrand and Co.



[[Kategori:Måtteori]]
[[Kategori:Topologiska grupper]]
[[Kategori:Liegrupper]]