Visa källa för Glaisher–Kinkelins konstant

'''Glaisher–Kinkelins konstant''' är en matematisk konstant som förekommer i ett antal oändliga produkter och integraler relaterade till flera [[Speciell funktion|speciella funktioner]]. Den är uppkallad efter matematikerna [[James Whitbread Lee Glaisher]] och [[Hermann Kinkelin]].

Glaisher–Kinkelins konstant kan definieras som

:<math>A=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{K(n+1)}{n^{n^2/2+n/2+1/12} e^{-n^2/4}}</math>

där<math>K(n)=\prod_{k=1}^{n-1} k^k</math> är [[K-funktionen]]. En ekvivalent definition är

:<math>A=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{(2\pi)^{n/2} n^{n^2/2-1/12} e^{-3n^2/4+1/12}}{G(n+1)}</math>

där <math>G(n)=\prod_{k=1}^{n-2}k!=\frac{\left[\Gamma(n)\right]^{n-1}}{K(n)}</math> är [[Barnes G-funktion]].

Dess approximativa värde är

:<math>A\approx1.2824271291\dots</math>.

Glaisher-Kinkelins konstant förekommer även i specifika värden av [[Riemanns zetafunktion]]:

:<math>\zeta^{\prime}(-1)=\frac{1}{12}-\ln A</math>

:<math>\sum_{k=2}^\infty \frac{\ln k}{k^2}=-\zeta^{\prime}(2)=\frac{\pi^2}{6}\left[12\ln A-\gamma-\ln(2\pi)\right]</math>

där <math>\gamma</math> är [[Eulers konstant]]. Några integraler innehållande den är

:<math>\int_0^{1/2} \ln\Gamma(x)dx=\frac{3}{2} \ln A+\frac{5}{24} \ln 2+\frac{1}{4} \ln \pi</math>

:<math>\int_0^\infty \frac{x \ln x}{e^{2 \pi x}-1}dx=\frac{1}{2} \zeta^{\prime}(-1)=\frac{1}{24}-\frac{1}{2}\ln A</math>

En oändlig serie för den är

:<math>\ln A=\frac{1}{8}-\frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n \left(-1\right)^k \binom{n}{k} \left(k+1\right)^2 \ln(k+1)</math>.

== Referenser ==
* {{Enwp|url=//en.wikipedia.org/w/index.php?title=Glaisher%E2%80%93Kinkelin_constant&oldid=565546640|artikel=Glaisher–Kinkelin constant|datum=31 oktober 2013}}

[[Kategori:Matematiska konstanter]]