Visa källa för Generaliserad integral

== Definition ==
En integral <math>\int \limits_a ^b f(x)dx </math> sägs vara '''generaliserad''' om <math>f(x)</math> inte är definierad, är obegränsad i ett ändligt antal punkter och minst i en punkt på <math>[a,b]</math>, eller om en integrationsgräns formellt ersatts med <math>\infty</math> eller <math>-\infty </math>. 
En multipelintegral <math>\int \ldots \int _D f dx_1 \ldots dx_n</math> sägs vara '''generaliserad''' om <math>f</math> är obegränsad, odefinierad i någon del av <math>D</math>, eller om <math>D</math> är obegränsad.

== Betydelse ==
Antag att <math>f(x)</math> är definierad på intervallet <math>[a,b]</math>. Då definieras <math>\int _a ^b f(x)dx:=\lim_{c \rightarrow b} \left( \int _a ^c f(x)dx\right)</math>, <math> \int _a  ^\infty f(x)dx := \lim _{c \rightarrow \infty} \left( \int _a ^c f(x)dx \right) </math> och <math> \int _a ^{-\infty} f(x)dx</math> analogt.
Alla generaliserade integraler kan överföras till en [[linjärkombination]] av de ovanstående tre integralerna.
Om <math>f(\bar{x})\geq 0 \forall \bar{x}\in D</math> och <math>\int \ldots \int _D f dx_1 \ldots d_n</math> är generaliserad så definieras <math>\int \ldots \int _D f dx_1 \ldots d_n:=\lim_{p\rightarrow \infty} \int \ldots \int _{E_p} f dx_1 \ldots d_n </math>, där <math>(E_n)</math> är en [[uttömmande svit]] till <math>D</math>. Om <math>f</math> växlar tecken på <math>D</math> så definieras <math>\int \ldots \int _D f dx_1 \ldots d_n:=\int \ldots \int _{\Omega_+} f dx_1 \ldots d_n - \int \ldots \int _{\Omega_-} f dx_1 \ldots d_n</math>, där <math>\Omega_+ \cap \Omega_- = \emptyset \land \Omega_+ \cup \Omega_- = D \land f(\bar{x})\geq 0 \forall \bar{x} \in \Omega_+ \land f(\bar{x})\leq 0 \forall \bar{x} \in \Omega_-</math>.

== Konvergens ==
En generaliserad integral <math> \int _a ^b f(x)dx </math> säges ''konvergera'' om gränsvärdet i definitionen av generaliserad integral existerar ändligt. Om integralen inte konvergerar säges den ''divergera''.

== Se även ==
*[[Integral]]
*[[Multipelintegral]]

== Externa länkar ==
*{{Commonscat|Integral functions}}

[[Kategori:Matematisk analys]]
[[Kategori:Integrationsteori]]