Visa källa för Ext-funktorn

Inom [[matematik]]en är '''Ext-funktorn''' [[Härledd funktor|härledda funktorerna]] av [[Hom-funktorn]]. De användes först inom [[algebraisk topologi]] men används numera inom flera andra delområden av matematiken. Namnet "Ext" kommer från dess konnektionen med utvidgningar (på engelska ''extension'') i abelska kategorier. 

== Definition ==
Låt ''R'' vara en [[Ring (matematik)|ring]] och låt Mod<sub>''R''</sub> vara [[Kategori (matematik)|kategorin]] av [[Modul (matematik)|moduler]] över ''R''. Låt ''B'' vara i Mod<sub>''R''</sub> och låt ''T''(''B'') = Hom<sub>''R''</sub>(''A,B'') för något fixerat ''A'' i Mod<sub>''R''</sub>. Det här är en [[vänster-exakt funktor]] och har alltså höger-[[härledd funktor|härledda funktorer]] ''R<sup>n</sup>T''. Ext-funktorn definieras som
 
:<math>\operatorname{Ext}_R^n(A,B)=(R^nT)(B).</math>

Den kan räknas genom att välja en godtycklig [[injektiv resolution]]

:<math>0 \rightarrow B \rightarrow I^0 \rightarrow I^1 \rightarrow \dots, </math>

och sedan räkna

:<math>0 \rightarrow \operatorname{Hom}_R(A,I^0) \rightarrow \operatorname{Hom}_R(A,I^1) \rightarrow \dots.</math>

Då är (''R<sup>n</sup>T'')(''B'') [[homologi (matematik)|homologin]] av detta komplex. Notera att Hom<sub>''R''</sub>(''A,B'') utelämnas från komplexet.

== Egenskaper ==
* Ext{{su|b=''R''|p=''i''}}(''A'', ''B'') = 0 för ''i'' > 0 om antingen ''B'' är [[injektiv modul|injektiv]] eller ''A'' [[projektiv modul|projektiv]].

* Om Ext{{su|b=''R''|p=1}}(''A'', ''B'') = 0 för alla ''A'' är Ext{{su|b=''R''|p=''i''}}(''A'', ''B'') = 0 för alla  ''A'' och ''B'' är injektiv; om Ext{{su|b=''R''|p=1}}(''A'', ''B'') = 0 för alla ''B'' är Ext{{su|b=''R''|p=''i''}}(''A'', ''B'') = 0 för alla ''B'' och ''A'' är projektiv.

* <math>\operatorname{Ext}^n_R \left (\bigoplus_\alpha A_\alpha,B \right )\cong\prod_\alpha\operatorname{Ext}^n_R(A_\alpha,B)</math>

* <math>\operatorname{Ext}^n_R \left (A,\prod_\beta B_\beta \right )\cong\prod_\beta\operatorname{Ext}^n_R(A,B_\beta)</math>

== Exempel ==
Om '''Z'''[''G''] är [[gruppring|heltalsgruppringen]] av en [[grupp (matematik)|grupp]] ''G'', då är Ext{{su|b='''Z'''[''G'']|p=*}}('''Z''', ''M'') [[gruppkohomologi]]n H*(''G,M'') med koefficienter i ''M''.

Om '''F'''<sub>''p''</sub> är [[ändlig kropp|ändliga kroppen]] med ''p'' element, då är H*(''G,M'') = Ext{{su|b='''F'''<sub>''p''</sub>[''G'']|p=*}}('''F'''<sub>''p''</sub>, ''M''), och gruppkohomologin beror inte på vilken basring man valt. 

Om ''A'' är en ''k''-[[algebra över en kropp|algebra]], då är Ext{{su|b=''A'' ⊗<sub>''k''</sub> ''A''<sup>op</sup>|p=*}}(''A'', ''M'') [[Hochschildkohomologi]]n HH*(''A,M'') med koefficienter i ''A''-bimodulen ''M''.

Om ''R'' är den [[universell envelopperande algebra|universala enveloppernade algebran]] för en [[Liealgebra]] <math>\mathfrak g</math> over a commutative ring ''k'', then Ext{{su|b=''R''|p=*}}(''k'', ''M'') är [[Liealgebrakohomologi]]n <math>\operatorname{H}^*(\mathfrak g,M)</math> med koefficienter i modulen ''M''.

==Se även==
* [[Tor-funktorn]]

== Källor ==
* {{Enwp|url=//en.wikipedia.org/w/index.php?title=Ext_functor&oldid=582921699|artikel=Ext functor|datum=20 februari 2014}}
* {{Citation | last1=Gelfand | first1=Sergei I. | last2=Manin | first2=Yuri Ivanovich | author2-link=Yuri Ivanovich Manin | title=Homological algebra | isbn=978-3-540-65378-3 | year=1999 | publisher=Springer | location=Berlin}}
* {{Weibel IHA}}

[[Kategori:Homologisk algebra]]
[[Kategori:Binära operationer]]