Visa källa för Dubbelt Mersennetal

'''Dubbelt Mersennetal''' är inom [[matematik]]en ett [[Mersennetal]] av formen

:<math>M_{M_p} = 2^{2^p-1}-1</math>

där ''p'' är en Mersenneprimtalsexponent.

== De första dubbla Mersennetalen ==
Talföljden av dubbla Mersennetal börjar med:<ref name="Caldwell">Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/mersenne/index.html#unknown ''Mersenne Primes: History, Theorems and Lists''] at the [[Prime Pages]].</ref>

:[[7 (tal)|<math>M_{M_2} = M_3 = 7</math>]]
:[[127 (tal)|<math>M_{M_3} = M_7 = 127</math>]]
:[[2147483647 (tal)|<math>M_{M_5} = M_{31} = 2147483647</math>]]
:[[170141183460469231731687303715884105727 (tal)|<math>M_{M_7} = M_{127} = 170141183460469231731687303715884105727</math>]]
:{{OEIS|id=A077586}}

== Dubbla Mersenneprimtal ==
{{Huvudartikel|Dubbelt Mersenneprimtal}}

Ett dubbelt Mersennetal som även är [[primtal]] kallas för [[dubbelt Mersenneprimtal]]. Eftersom ett Mersennetal ''M''<sub>''p''</sub> kan vara primtal [[om och endast om]] ''p'' är ett primtal (se artikeln [[Mersenneprimtal]] för ett bevis) kan ett Mersennetal <math>M_{M_p}</math> vara primtal om ''M''<sub>''p''</sub> i sig är ett Mersenneprimtal. De första värdena för ''p'', för vilka ''M''<sub>''p''</sub> är ett primtal är ''p'' = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127. Av dessa är <math>M_{M_p}</math> känt för att vara primtal för ''p'' = 2, 3, 5, 7. För ''p'' = 13, 17, 19, 31 har explicita faktorer funnits som visar att motsvarande dubbla Mersennetal är inte primtal. Således, den minsta kandidaten för nästa dubbla Mersenneprimtal är <math>M_{M_{61}}</math> eller 2<sup>2305843009213693951</sup> − 1. Cirka 1,695{{e|694127911065419641}} är för stort för alla nu kända [[primtalstest]]. Talet har ingen primtalsfaktor lägre än 4 × 10<sup>33</sup>.<ref>Tony Forbes, [http://anthony.d.forbes.googlepages.com/mm61prog.htm A search for a factor of MM61. Progress: 9 October 2008] {{Wayback|url=http://anthony.d.forbes.googlepages.com/mm61prog.htm |date=20090215115625 }}. This reports a high-water mark of 204204000000×(10019+1)×(2<sup>61</sup>−1), above 4×10<sup>33</sup>. Retrieved on 2008-10-22.</ref> Det finns förmodligen inga andra dubbla Mersenneprimtal än de fyra redan kända.

== Catalan–Mersennetal-förmodanden ==
Skriv <math>M(p)</math> istället för <math>M_p</math>. Ett specialfall av dubbla Mersennetal är den [[Rekursion|rekursivt]] definierade följden:

:2, ''M''(2), ''M''(''M''(2)), ''M''(''M''(''M''(2))), ''M''(''M''(''M''(''M''(2)))), … {{OEIS|id=A007013}}

som kallas [[Catalan–Mersennetal]].<ref>{{MathWorld|urlname=Catalan-MersenneNumber|title=Catalan-Mersenne Number}}</ref> Det sägs att<ref name="Caldwell"/> Catalan kom med denna följd efter upptäckten av prima av M(127)=M(M(M(M(2)))) av [[Édouard Lucas|Lucas]] år 1876.<ref>''Nouvelle correspondance mathématique'' vol. 2 (1876), p. 94-96, "Questions proposées" probably collected by the editor. Almost all of the questions are signed by Édouard Lucas as is number 92: "Prouver que 2<sup>61</sup> - 1 et 2<sup>127</sup> - 1 sont des nombres premiers. (É. L.) (*)." The footnote (indicated by the star) written by the editor Eugène Catalan, is as follows: "(*) Si l'on admet ces deux propositions, et si l'on observe que 2<sup>2</sup> - 1, 2<sup>3</sup> - 1, 2<sup>7</sup> - 1 sont aussi des nombres premiers, on a ce ''théorème empirique: Jusqu'à une certaine limite, si'' 2<sup>n</sup> - 1 ''est un nombre premiere'' p, 2<sup>p</sup> - 1 ''est une nombre premiere'' p', 2<sup>p'</sup> - 1 ''est une nombre premiere'' p", etc. Cette proposition a quelque analogie avec le théorème suviant, énoncé par Fermat, et dont Euler a montré l'inexactitude: ''Si n est une puissance de 2, 2<sup>n</sup> + 1 est une nombre premiere.'' (E. C.)" http://archive.org/stream/nouvellecorresp01mansgoog#page/n353/mode/2up [retrieved 2012-10-18]</ref> Catalan förmodade att de, upp till en viss gräns, är alla primtal.{{Förtydliga|datum=2012-12}}

Även om de fem första termerna (upp till <math>M(127)</math>) är primtal, kan inga kända metoder avgöra om något mer av dessa tal är primtal (i någon rimlig tid) bara för att talen i fråga är alltför stora, om inte prima av M(M(127)) motbevisas.

== Inom populärkulturen ==
I [[Futurama]]-filmen ''[[Futurama: The Beast with a Billion Backs|The Beast with a Billion Backs]]'' ses det dubbla Mersennetalet <math>M_{M_7}</math> i kort som "ett elementärt bevis på [[Goldbachs hypotes]]". I filmen kallas detta tal för ett "marsianprimtal" ({{Lang-en|martian prime}}).

== Se även ==
* [[Perfekt tal]]
* [[Fermattal]]
* [[Wieferichprimtal]]

== Referenser ==
* {{Enwp|url=//en.wikipedia.org/w/index.php?title=Double_Mersenne_number&oldid=572337241|artikel=Double Mersenne number|datum=17 december 2013}}

=== Noter ===
<references/>

== Vidare läsning ==
* {{Citation |authorlink=L. E. Dickson |last=Dickson |first=L. E. |title=[[History of the Theory of Numbers]] |origyear=1919 |publisher=Chelsea Publishing |location=New York |year=1971 |isbn= }}

== Externa länkar ==
* {{MathWorld|urlname=DoubleMersenneNumber|title=Double Mersenne Number}}
* Tony Forbes, [http://anthony.d.forbes.googlepages.com/mm61.htm En sökning efter en faktor av MM61]. 
* [https://web.archive.org/web/20141015012140/http://www.garlic.com/~wedgingt/MMPstats.txt Status för faktorisering av dubbla Mersennetal] {{En ikon}}
* [http://www.doublemersennes.org Sök efter dubbla Mersenneprimtal] {{En ikon}}
* [http://www.mersenneforum.org/forumdisplay.php?f=99 Operazione Doppi Mersennes] (inloggning krävs) {{En ikon}}

{{Naturliga tal}}

[[Kategori:Heltalsmängder]]
[[Kategori:Mycket stora tal]]