Visa källa för Binet–Cauchys identitet

'''Binet–Cauchys identitet''', uppkallad efter [[Jacques Philippe Marie Binet]] och [[Augustin Louis Cauchy]], är inom [[algebra]]n [[Identitet (matematik)|identiteten]]<ref name=Weisstein>
{{cite book |title=CRC concise encyclopedia of mathematics |author=Eric W. Weisstein |page=228 |url=https://books.google.com/books?id=8LmCzWQYh_UC&pg=PA228 |chapter=Binet-Cauchy identity |isbn=1-58488-347-2 |year=2003 |edition=2nd |publisher=CRC Press}}
</ref>
:<math>
\biggl(\sum_{i=1}^n a_i c_i\biggr)
\biggl(\sum_{j=1}^n b_j d_j\biggr) = 
\biggl(\sum_{i=1}^n a_i d_i\biggr)
\biggl(\sum_{j=1}^n b_j c_j\biggr) 
+ \sum_{1\le i < j \le n} 
(a_i b_j - a_j b_i ) 
(c_i d_j - c_j d_i )
</math>
som gäller för alla [[komplexa tal]] (eller mera generellt, alla element tillhörande en [[kommutativ ring]]).
Om ''a<sub>i</sub>''&nbsp;=&nbsp;''c<sub>i</sub>'' och ''b<sub>j</sub>''&nbsp;=&nbsp;''d<sub>j</sub>'', ger sambandet [[Lagranges identitet]], vilken är en allmännare version av [[Cauchy–Schwarz olikhet]] för det [[euklidiska rummet]] <math>\mathbb{R}^n</math>.

==Bevis==
Expandering av den sista termen:
:<math>
\sum_{1\le i < j \le n} 
(a_i b_j - a_j b_i ) 
(c_i d_j - c_j d_i )
</math>
:<math>
=
\sum_{1\le i < j \le n} 
(a_i c_i b_j d_j + a_j c_j b_i d_i)
+\sum_{i=1}^n a_i c_i b_i d_i
-
\sum_{1\le i < j \le n} 
(a_i d_i b_j c_j + a_j d_j b_i c_i)
-
\sum_{i=1}^n a_i d_i b_i c_i
</math>
där den andra och fjärde termen tillagts för bildandet av summan
:<math>
=
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n
a_i c_i b_j d_j
-
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n
a_i d_i b_j c_j.
</math>
vilken gör beviset  fullständigt efter att termerna indexerade med ''i'' faktoriserats ut.

== Referenser==
* {{Enwp|url=//en.wikipedia.org/w/index.php?title=Binet%E2%80%93Cauchy_identity&oldid=572880768|artikel=Binet–Cauchy identity|datum=27 januari 2014}}
===Noter===
<references/>
[[Kategori:Matematiska identiteter]]
[[Kategori:Multilinjär algebra]]