Visa källa för Algebra över en kropp

En '''algebra''' över en kropp är inom [[matematik]] en algebraisk struktur, mer specifikt ett [[vektorrum]] med en operation som liknar [[multiplikation]].

==Definition==
En algebra <math> A </math> över en [[kropp (matematik)|kropp]] <math> K </math> är ett [[vektorrum]] <math> A </math> där det för varje par av element <math> x,y \in A </math> finns en unik produkt <math> xy \in A </math> med egenskaperna:<ref name="karush12">{{harvnb|Karush|1962|s=12}}</ref>
*<math>x(y+z) = xy + xz\,</math>
*<math>(x+y)z = xz + yz\,</math>
*<math>\alpha(xy) = (\alpha x)y = x (\alpha y)\,</math>
för <math> x,y,z \in A </math> och <math>\alpha \in K </math>.

<math> A </math> sägs vara en '''associativ algebra''' om
:<math> x(yz) = (xy)z \,</math>
och en '''kommutativ algebra''' eller '''abelsk algebra''' om
:<math>xy = yx \,</math>.
<math> A </math> kallas för '''algebra med neutralt element''' om det finns ett <math> e \in A </math> så att
:<math> ex = xe = x \,</math>.
Om <math> A </math> har ett neutralt element är det unikt. För om man antar att det finns två neutrala element, <math> e </math> och <math> e' </math>, får man att
*<math> ee' = e </math> eftersom <math> e' </math> är ett neutralt element.
*<math> ee' = e' </math> eftersom <math> e </math> är ett neutralt element.
Alltså är <math> e = e' </math>.

== Normerad algebra ==
En associativ algebra <math> A </math> kallas för en '''normerad algebra''' om den är ett [[normerat rum]] som uppfyller
*<math> \|xy\| \leq \|x\|\|y\|</math> för alla <math> x, y \in A </math>
*<math> \|e\| = 1 </math> om <math> A </math> har ett neutralt element <math> e </math>.
En normerad algebra kallas för '''Banachalgebra''', uppkallad efter [[Stefan Banach]], om den är [[fullständigt rum|fullständig]] betraktad som ett [[normerat rum]].<ref name="karush220">{{harvnb|Karush|1962|s=220}}</ref>

==Exempel==
===Tredimensionellt euklidiskt rum===
[[Inre produktrum]]met <math>\mathbb{R}^3</math> med [[kryssprodukt]]en införd är en algebra över kroppen av [[reella tal]].

===Matrisrum===
Rummet av alla komplexa (eller reella) [[Kvadratisk matris|kvadratiska matriser]] med <math> n </math> rader är en icke-kommutativ associativ algebra med [[enhetsmatris]]en som neutralt element.<ref name="karush197">{{harvnb|Karush|1962|s=197-198}}</ref> Genom att införa en [[matrisnorm]] blir algebran en Banachalgebra.<ref name="karush220"/>

===Funktionsrum===
Rummet <math>C[a,b]</math> av alla kontinuerliga funktioner på intervallet <math>[a,b]</math> är en Banachalgebra med operationen<ref name="karush220"/>
:<math> (xy)(t) = x(t)y(t) \,</math> för alla <math> x(t), y(t) \in C[a, b]</math>
<math> C[a,b] </math> har det neutrala elementet 1 och normen
:<math> \|x\| = \max_{t \in [a,b]} x(t)</math>.

==Referenser==

===Noter===
<references/>

===Källor===
*{{Bokref |titel=Matematisk uppslagsbok |efternamn=Karush |förnamn=William |författarlänk= |medförfattare=Jan Thomson och Bertil Rahm |år=1962  |utgivare=Wahlström & Widstrand |utgivningsort= |isbn= |sid= }}

==Externa länkar==
* http://uu.diva-portal.org/smash/get/diva2:310457/FULLTEXT01.pdf

[[Kategori:Algebror]]