Visa källa för 4294967295-hörning

[[Fil:Constructible polygon set.svg|miniatyr|Lista över alla de 31 (= 2<sup>5</sup> - 1) kända geometriskt konstruerbara regelbundna polygonerna med udda antal hörn i rött (och därutöver de med jämna antal under 1000 i svart).]]
En regelbunden '''{{formatnum:4294967295}}-hörning''' (2<sup>32</sup>&nbsp;-&nbsp;1) är den [[polygon]] som har det största kända udda antalet hörn (eller sidor) som är [[Geometrisk konstruktion|konstruerbar]] med [[Passare (ritverktyg)|passare]] och [[rätskiva]]. Talet {{formatnum:4294967295}} är nämligen produkten av alla de fem kända [[Fermatprimtal]]en F<sub>0</sub>&nbsp;=&nbsp;[[3 (tal)|3]], F<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;[[5 (tal)|5]], F<sub>2</sub>&nbsp;=&nbsp;[[17 (tal)|17]], F<sub>3</sub>&nbsp;=&nbsp;[[257 (tal)|257]] och F<sub>4</sub>&nbsp;=&nbsp;[[65537 (tal)|{{formatnum:65537}}]].{{anmärkning|Detta visas lätt med hjälp av litet potensräknelagar samt upprepad användning av [[konjugatregeln]]. <math>2^{32} = 2^{2^5} = 2^{2^4\cdot2} = (2^{2^4})^2</math> (det sista enligt den allmänna potensräknelagen <math>a^{bc} = (a^b)^c</math>), och <math>1=1^2</math>, så vi får verkligen <math>2^{32}-1 = (2^{16})^2-1^2 = (2^{16}+1) \cdot (2^{16}-1) = (2^{16}+1) \cdot ((2^8)^2-1^2) = \ldots = (2^{16}+1) \cdot (2^8+1) \cdot (2^4+1) \cdot (2^2+1) \cdot (2^1+1) \cdot (2^1-1) = F_4 \cdot F_3 \cdot F_2 \cdot F_1 \cdot F_0 \cdot 1</math>.}}

Eftersom [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] visade att det endast är regelbundna polygoner med antal hörn som är produkter av olika fermatprimtal och/eller heltalspotenser av två som är geometriskt konstruerbara är produkten av de fem kända udda Fermatprimtalen verkligen det största antalet udda hörn som en konstruerbar regelbunden polygon, såvitt känt, kan ha.<ref>Falko Lorenz, 2006, ''Algebra: Volume I: Fields and Galois Theory'', [https://books.google.se/books?id=SEy_uuQpxBMC&pg=PA105 sid. 105]. {{ISBN|9780387316086}}</ref><ref>Edward A. Bender, S. Gill Williamson, 2005, ''A Short Course in Discrete Mathematics'', [https://books.google.se/books?id=iuEoAwAAQBAJ&pg=PA43 sid. 43]. {{ISBN|9780486439464}}.</ref><ref>[[John Horton Conway]], Richard Guy, 1998, ''The Book of Numbers'', [https://books.google.se/books?id=0--3rcO7dMYC&pg=PA140 sid. 140]. {{ISBN|9780387979939}}.</ref> Det sjätte Fermattalet  F<sub>5</sub>&nbsp;=&nbsp;2<sup>32</sup>+1&nbsp;=&nbsp;[[4294967297 (tal)|{{formatnum:4294967297}}]] är inte ett primtal, eftersom 641&nbsp;·&nbsp;{{formatnum:6700417}}&nbsp;=&nbsp;{{formatnum:4294967297}}. Likaså är F<sub>''n''</sub> ett sammansatt tal för <math>n = 6, 7, \ldots, 32</math>, och det finns en förmodan om att detta också gäller alla större värden på ''n''.

Konstruktionen av en {{formatnum:4294967295}}-hörning är enkel i teorin, men såklart helt ogenomförbar i praktiken. Man börjar med en cirkel och konstruerar en [[omskriven cirkel|inskriven]] [[liksidig triangel]]. Man konstruerar sedan [[regelbunden polygon|regelbundna]] inskrivna femhörningar utgående från de tre triangelhörnen (se [[Femhörning|pentagon]] för en beskrivning av förfarandet){{anmärkning|Man behöver dock inte konstruera en ''ny'' femhörning för varje av de tre hörnen. Det räcker med att avsätta avstånden mellan den först konstruerade femhörningens hörn och det triangelhörn man utgick från för de båda återstående triangelhörnen på cirkeln. Samma resonemang gäller de följande konstruktionerna.}} och erhåller härvid en regelbunden femtonhörning (vars hörn är de fem hörnen i vardera av de tre femhörningarna). Utgående från dessa femton hörn konstruerar men femton sjuttonhörningar och får därvid en regelbunden 255-hörning från de femton sjuttonhörningarnas hörn. Från de 255 hörnen konstruerar man 255 stycken 257-hörningar, vilket ger en regelbunden {{formatnum:65535}}-hörning och utgående från dess {{formatnum:65535}} hörn konstruerar men sedan {{formatnum:65537}}-hörningar så att man får en {{nowrap|1=(655 35 ⋅ 655 37 =) 4 294 967 295-hörning}}.

Om en regelbunden 4 294 967 295-hörning skulle skapas med ekvatorn som [[omskriven cirkel]] skulle varje sida ha längden:
:<math>s \approx \frac{12\ 756,\!32 \cdot \pi \ \mbox{km}}{4\ 294\ 967\ 295} \approx 9,3\ \mbox{mm}</math>

==Förklaringar och anmärkningar==
{{Anmärkningslista}}

==Referenser==
<references/>

==Externa länkar==
*[https://oeis.org/A045544 Talföljd A045544] på [[Nätuppslagsverket över heltalsföljder|OEIS]].
{{Polygoner}}

[[Kategori:Polygoner]]