Goormaghtighs förmodan

Goormaghtighs förmodan är en förmodan inom talteori uppkallad efter den belgiske matematikern René Goormaghtigh. Förmodan säger att de enda heltalslösningarna till

$\frac{x^m-1}{x-1}=\frac{y^n-1}{y-1}$

som uppfyller x > y > 1 och m, n > 2 är

• (x, y, m, n) = (5, 2, 3, 5) och
• (x, y, m, n) = (90, 2, 3, 13).

Detta kan också formuleras som att 31 och 8191 är de enda tal som skrivs med endast ettor (minst tre) i två olika baser.

$31=\frac{2^5-1}{2-1}=\frac{5^3-1}{5-1}$

$8191=\frac{2^{13}-1}{2-1}=\frac{90^3-1}{90-1}$

De indiska matematikerna Ramachandran Balasubramanian och Tarlok Nath Shorey bevisade 1980 att det bara kan förekomma ett ändligt antal lösningar till ekvationen. Däremot är problemet som helhet fortfarande olöst.

Referenser

Källor

• Baker och Wüstholz, “Logarithmic forms and group varieties”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 442 (1993), 19–62.
• Davenport, Lewis och Schinzel, “Equations of the form f(x) = g(y)”, Quarterly Journal of Mathematics: Oxford Journals, 12 (1961), 304–312.
• Goormaghtigh, “L’Intermédiaire des Mathématiciens”, 24 (1917), 88.
• Guy, Richard K., “Unsolved Problems in Number Theory”, Springer-Verlag (2004), 242, Mall:ISBN.
• T. Nagell, ”The diophantine equation x2 + 7 = 2n” , Arkiv för Matematik 4 (1961), 185–187.
• S. Ramanujan, “Question 464”, The Journal of the Indian Mathematical Society, 5 (1913), Collected Papers, Cambridge Univiversity Press (1927), 327.
• N. Saradha och T. N. Shorey, “On the equation (x+1) . . . (x+k) = (y+1) . . . (y+mk)” , Indagationes Mathematicae, 3 (1992), 79–90.
• T. N. Shorey, “On the equation a(xm −1)/(x−1) = b(yn −1)/(y −1) (II)”, Hardy Ramanujan Journal, 7 (1984), 1–10.
• —, “Integers with identical digits”, Acta Arithmetica, 53 (1989), 187–205.