Laplaces ekvation

Laplaces ekvation, en partiell differentialekvation med namn efter Pierre Simon de Laplace. Dess allmänna form är

${\mathrm{\nabla }}^{2}u=0,$

där ${\mathrm{\nabla }}^2$ är Laplaceoperatorn. I ett tredimensionellt rum med kartesiska koordinater skrivs ekvationen

${\mathrm{\nabla }}^{2}u=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}=0$.

En funktion som uppfyller Laplaces ekvation kallas harmonisk.

Laplaces ekvation uppträder ofta i vitt skilda fysikaliska sammanhang när en process uppnått jämvikt, så kallat stabilt tillstånd. Ett exempel är när en uppvärmd kropp/massa når jämvikt, då den inre värmefördelningen inte längre förändras. En sådan kropps värmeledningsekvation är lösning till Laplaces ekvation.

Poissons ekvation är en generalisering av Laplaces ekvation.