Gnomonik

Gnomonik (av grekiska gnomon, visare, rättesnöre) är läran om solur och konsten att tillverka dem.

Grunderna för gnomonik var kända för den antike greken Anaximander (ca 550 f.Kr.), som förstärkte vetenskapen om skuggor som fördes tillbaka från Egypten av Thales av Miletos. Gnomonik användes av grekiska och romerska arkitekter från 25 f.Kr. för konstruktion av byggnader.

Modern gnomonik har sitt ursprung i den begynnande europeiska astronomin på 1500-talet. De första verken, på latin, publicerades av Sebastian Münster 1531 och Oronce Fine 1532, snabbt följda av böcker på franska. I slutet av 1600-talet utvecklades gnomonik särskilt i tillämpningen av sfärisk trigonometri. Flera metoder, både grafiska och analytiska, publicerades i böcker som gjorde det möjligt att skapa solur med större eller mindre precision att placeras på byggnader och i trädgårdar.

I sin Histoire de la Gnomonique ancienne et moderne sammanfattar Jean-Étienne Montucla gnomonik med dessa ord:

Analytisk gnomonik

Koordinatsystemtransformationer - Byte av baser

De kartesiska koordinaterna för solen i det horisontella koordinatsystemet kan bestämmas genom successiva förändringar av baser.

Uttryck som transformationsmatriser

En transformationsmatris från ett system B till ett system B' gör det möjligt att beräkna koordinaterna för en punkt eller vektor i system B' när dess koordinater är kända är system B.

Till exempel, för att ändra systemet genom att rotera med en vinkel α runt Z-axeln, kan koordinaterna i det nya systemet beräknas från dem i det gamla systemet som:

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{X}}^{\prime }\\ {\mathrm{Y}}^{\prime }\\ {\mathrm{Z}}^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\cos \alpha & \sin \alpha & 0\\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\mathrm{X}\\ \mathrm{Y}\\ \mathrm{Z}\end{array}\right)$

På liknande sätt, för rotation av en vinkel α runt X-axeln:

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{X}}^{\prime }\\ {\mathrm{Y}}^{\prime }\\ {\mathrm{Z}}^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \alpha & \sin \alpha \\ 0& -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\mathrm{X}\\ \mathrm{Y}\\ \mathrm{Z}\end{array}\right)$

och för rotation med vinkeln α runt Y-axeln:

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{X}}^{\prime }\\ {\mathrm{Y}}^{\prime }\\ {\mathrm{Z}}^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\cos \alpha & 0& -\sin \alpha \\ 0& 1& 0\\ \sin \alpha & 0& \cos \alpha \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\mathrm{X}\\ \mathrm{Y}\\ \mathrm{Z}\end{array}\right)$

Modell av solens skenbara rörelse

De kartesiska koordinaterna för solen i det horisontella koordinatsystemet kan beräknas med hjälp av förändring av basmatriser:

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{X}}_h\\ {\mathrm{Y}}_h\\ {\mathrm{Z}}_h\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\cos (\frac{\pi }{2}-\varphi )& 0& -\sin (\frac{\pi }{2}-\varphi )\\ 0& 1& 0\\ \sin (\frac{\pi }{2}-\varphi )& 0& \cos (\frac{\pi }{2}-\varphi )\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}\cos (LMST)& \sin (LMST)& 0\\ -\sin (LMST)& \cos (LMST)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos (-ϵ)& \sin (-ϵ)\\ 0& -\sin (-ϵ)& \cos (-ϵ)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\cos (l_{\odot })\\ \sin (l_{\odot })\\ 0\end{array}\right)$

där:

$\varphi$: Latitud för observationsplatsen

$LMST$: Loal genomsnittlig siderisk tid

$ϵ$: Axiell lutning

$l_{\odot }$: Solens ekliptiska longitud

Projektion av skuggan av en vertikal gnomon

Låt $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ L\end{array}\right)$ vara de kartesiska koordinaterna, i det lokala koordinatsystemet, för slutet av en vertikal gnomon av längd $L$.

Koordinaterna för skuggans yttersta del i horisontalplanet kan erhållas med en affin transformation parallell med linjen genom att $\left(\begin{array}{c}{\mathrm{X}}_h\\ {\mathrm{Y}}_h\\ {\mathrm{Z}}_h\end{array}\right)$ och $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ L\end{array}\right)$.

Lutande och nedåtgående solur

De kartesiska koordinaterna för solen i koordinatsystemet bundna till ett lutande solur med given deklination är:

• $\left(\begin{array}{c}\mathrm{X}{\text{'}}_h\\ \mathrm{Y}{\text{'}}_h\\ \mathrm{Z}{\text{'}}_h\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\cos i& 0& -\sin i\\ 0& 1& 0\\ \sin i& 0& \cos i\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}\cos (-D)& \sin (-D)& 0\\ -\sin (-D)& \cos (-D)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{\mathrm{X}}_h\\ {\mathrm{Y}}_h\\ {\mathrm{Z}}_h\end{array}\right)$

där: $D$: deklinationen för solurets plan

$i$: solurets lutning, det vill säga normalens vinkel med avseende på zenit.

Andra användningsområden

Gnomonisk projektion är en kartprojektion där flyktpunkten är i mitten av en sfäroid.

Se även

• Gnomon

Referenser

• Mall:Runeberg.org
• Mall:Cite web
• Mall:Cite web
• Mall:Cite book
• Mall:Cite journal
• Mall:Cite book
• Mall:Cite web

Externa länkar

• Mall:Commonscat WD
• Mall:Cite web at the Société Astronomique de France website
• Mall:Cite web, Minutes of meetings of the Commission des Cadrans solaires du Québec (CCSQ) from 1995 to 2014, available as PDF files
• In May 2018, a French-language Mall:Cite web was launched by a member of the Sundials Commission of the Société astronomique de France.