Kramers–Kronig-relationerna

Kramers–Kronig-relationerna är två matematiska relationer som måste gälla mellan real- och imaginärdelen av Fouriertransformen av en linjär responsfunktion $\chi (t)$ som uppfyller kausalitetskravet $\chi (t)=0$ för $t<0$.

Kausalitet innebär att responsfunktionen $\chi (t)$ måste uppfylla kravet $\chi (t)=0$ för $t<0$. Detta får följder även för den Fouriertransformerade responsfunktionen $\chi (\omega )$. Relationen mellan dem ges av

$\chi (t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{d\omega }{2\pi }{e}^{-i\omega t}\chi (\omega ).$

Om $t<0$ kan integralen utvärderas genom en konturintegral som utsträcker sig i den övre halvan av det komplexa talplanet. Eftersom $\chi (t)=0$ för $t<0$, måste $\chi (\omega )$ sakna poler i den övre halvan av det komplexa talplanet.

Kausalitetskrav $\chi (\omega )$ är analytisk för $\text{Im }\omega >0$

Detta kausalitetskrav medför att ${\chi }^{\prime }(\omega )$ och ${\chi }^{″}(\omega )$ inte är helt oberoende av varandra. Istället är de direkt relaterade till varandra genom de så kallade Kramers–Kronig-relationerna:

Kramers–Kronig-relationerna $\text{Re }\chi (\omega )=𝒫\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{d{\omega }^{\prime }}{\pi }\frac{\text{Im }(\chi ({\omega }^{\prime }))}{{\omega }^{\prime }-\omega }$ $\text{Im }\chi (\omega )=-𝒫\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{d{\omega }^{\prime }}{\pi }\frac{\text{Re }(\chi ({\omega }^{\prime }))}{{\omega }^{\prime }-\omega }$

där $𝒫$ betecknar principalvärdet av integralen.