Gross–Koblitzs formel

Inom matematiken är Gross–Koblitzs formel, introducerad av Mall:Harvs, en formel som uttrycker en Gaussumma som en produkt av värden av p-adiska gammafunktionen. Den är en analogi av Chowla–Selbergs formel för vanliga gammafunktionen. Den implicerar Hasse–Davenports relation och generaliserar Stickelbergers sats. Mall:Harvtxt gav ett annat bevis av formeln genom att använda Dworks arbete. Mall:Harvtxt gav ett elementärt bevis.

Formeln

Gross–Koblitzs formel säger att Gaussumman τ kan skrivas med hjälp av p-adiska gammafunktionen Γ_p som

${\tau }_q(r)=-{\pi }^{s_p(r)}\prod _{0\le i<f}{\mathrm{\Gamma }}_p(r^{(i)}/(q-1))$

där

• q är en potens p^f av ett primtal p
• r är ett heltal med 0 ≤ r < q–1
• r⁽ⁱ⁾ är heltalet vars som skrivet i bas p är en cyklisk permutation av de f siffrorna av r med i positioner.
• s_p(r) är summan av siffrorna av r i p
• ${\tau }_q(r)=\sum _{a^{q-1}=1}{a}^{-r}{\zeta }_{\pi }^{\text{Tr}(a)}$

där summan är över enhetsrötterna i utvidgningen Q_p(π)

• π satisfierar π^{p – 1} = –p
• ζ_π är p-te roten av 1 kongruent 1+π mod π².

Källor

• Mall:Enwp
• Mall:Citation
• Mall:Bokref
• Mall:Citation
• Mall:Citation