Prüfergrupp

Prüfer-2-gruppen.

Inom matematiken är Prüfer-p-gruppen (även känd som p-kvasicykliska gruppen, p^∞-gruppen eller Z(p^∞) för ett primtal p den unika p-gruppen där varje element har p skilda p-te rötter. Gruppen är uppkallad efter Heinz Prüfer. Den är en uppräknelig abelsk grupp och är till hjälp då man klassificerar oändliga abelska grupper.

Konstruktioner av Z(p^∞)

Prüfer-p-gruppen kan identifieras med delgruppen av cirkelgruppen U(1) bestående av alla pⁿ-te enhetsrötter med n ett icke-negativt heltal:

$𝐙(p^{\mathrm{\infty }})=\{\exp (2\pi im/p^n)\mid m\in {𝐙}^{+},n\in {𝐙}^{+}\}.$

Gruppoperationen är multiplikation med komplexa tal.

Alternativt kan Prüfer-p-gruppen ses som Sylow p-delgruppen av kvotgruppen Q/Z, bestående av de element vars ordning är en potens av p:

$𝐙(p^{\mathrm{\infty }})=𝐙[1/p]/𝐙$

(där Z[1/p] betecknar gruppen av alla rationella tal vars nämnare är en potens av p, med addition av rationella tal som gruppoperation).

Prüfer-p-gruppen kan även beskrivas som

$𝐙(p^{\mathrm{\infty }})={𝐐}_p/{𝐙}_p$

där Q_p betecknar additiva gruppen av p-adiska tal och Z_p är delgruppen av p-adiska heltal.

Prüfer-p-gruppen har presentationen

$𝐙(p^{\mathrm{\infty }})=⟨g_1,g_2,g_3,\dots \mid g_1^p=1,g_2^p=g_1,g_3^p=g_2,\dots ⟩.$

Här är gruppoperationen i Z(p^∞) skriven som multiplikation.

Källor

• Mall:Enwp
• Mall:Cite book
• Mall:Cite book
• Mall:Cite book
• Mall:Springer.