Lagranges restterm

Lagranges restterm är resttermen r(x) i en Taylorutveckling som också ges namnet Lagrange form. Med hjälp av uttrycket kan felet också uppskattas. Uttrycket har fått sitt namn från Joseph-Louis Lagrange som var den första hitta ett explicit uttryck för avvikelsen i en Taylorutveckling.

Sats

Lagranges restterm kan uttryckas enligt följande sats:

Om f är deriverbar till och med minst ordning n+1 på ett öppet intervall I och derivatorna f⁽ⁿ⁾ är kontinuerliga på det stängda intervallet mellan a och x, då är resttermen i f:s Taylorutveckling

$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1}$,

för något ξ mellan x och a.

Bevis

Enligt förutsättningarna för en Taylorutveckling kring en punkt a är

$R_n(x)=f(x)-p(x)$

där

$R_n(a)=0,{R_n}^{\prime }(a)=0{R_n}^{″}(a)=0,...,R_n^{(n)}(a)=0.$

och

$R_n^{(n+1)}(x)=f^{(n+1)}(x),\text{ för }x\in I$.

Då är för varje fixt x $\in$ I

$R_n(x)=R_n(x)-R_n(a)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}{R_n}^{\prime }(t)dt=\underset{a}{\overset{x}{\int }}1\cdot {R_n}^{\prime }(t)dt.$

Med partiell integration och (t-x) som primitiv till 1 fås

$R_n(x)={\left[(t-x){R_n}^{\prime }(t)\right]}_a^x+\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t){R_n}^{″}(t)dt=$

$=((x-x){R_n}^{\prime }(x)-(a-x){R_n}^{\prime }(a))+\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t){R_n}^{″}(t)dt=$

$=(0-0)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t){R_n}^{″}(t)dt=\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t){R_n}^{″}(t)dt.$

Fortsatt partiell integration (med R_n(a) = 0, R_n'(a)=0,..., R_n⁽ⁿ⁾(a)=0) ger att

$R_n(x)={\left[\frac{-(x-t{)}^2}{2}{R_n}^{″}(t)\right]}_a^x+\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{(x-t{)}^2}{2}{R}_n^{(3)}(t)dt=0+\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{(x-t{)}^2}{2}{R}_n^{(3)}(t)dt=$

$={\left[\frac{-(x-t{)}^3}{3!}{R}_n^{(3)}(t)\right]}_a^x+\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{(x-t{)}^3}{3!}{R}_n^{(4)}(t)dt=\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{(x-t{)}^3}{3!}{R}_n^{(4)}(t)dt=...=$

$={\left[\frac{-(x-t{)}^{n-1}}{(n-1)!}{R}_n^{(n-1)}(t)\right]}_a^x+\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{(x-t{)}^{n-1}}{(n-1)!}{R}_n^{(n)}(t)dt=\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{(x-t{)}^{n-1}}{(n-1)!}{R}_n^{(n)}(t)dt=$

$={\left[\frac{-(x-t{)}^n}{n!}{R}_n^{(n)}(t)\right]}_a^x+\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{(x-t{)}^n}{n!}{R}_n^{(n+1)}(t)dt=\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{R_n^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t{)}^{n}dt.$

Med R_n⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) fås R_n(x) uttryckt på så kallad integralform där

$R_n(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t{)}^{n}dt.$

Eftersom faktorn (x-t)ⁿ ej växlar tecken för fixt x och t mellan a och x finns enligt den generaliserade medelvärdessatsen något tal ξ mellan a och x sådant att

$R_n(x)=f^{(n+1)}(\xi )\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{(x-t{)}^n}{n!}dt=f^{(n+1)}(\xi )\cdot {\left[\frac{-(x-t{)}^{n+1}}{(n+1)!}\right]}_a^x=$

$=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1}$

vilket är Lagranges form för resttermen.

Uppskattning av restterm

Med hjälp av Lagranges restterm så kan resten vid en Taylorutveckling uppskattas.

Exempel

Approximation av e^x (blå) med sitt Taylorpolynom P_n av ordning n=1,...,7 centrerad vid x=0 (röd).

Antag att funktionen f(x) = e^x ska uppskattas på intervallet [-1,1] med ett fel mindre än 10^-5. Exemplet utgår endast från att följande egenskaper hos exponentialfunktionen är kända:

$(*)e^0=1,\frac{d}{dx}{e}^x=e^x,e^x>0,x\in ℝ.$

Från dessa egenskaper följer att Mall:Nowrap för alla n, och särskilt är f⁽ⁿ⁾(0) = 1. Följaktligen ges Taylorpolynomet av f vid 0 och resttermen på Lagrange form av

$P_n(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!},R_n(x)=\frac{e^{\xi }}{(n+1)!}{x}^{n+1},$

där ξ är något tal mellan 0 och x. Eftersom e^x är strängt växande enligt (*) ses direkt att e^x ≤ 1 för x ∈ [−1, 0] kan användas som övre gräns för resten på intervallet [−1, 0]. För att hitta en gräns på det övre intervallet [0,1] utnyttjas att e^ξ<e^x med 0<ξ<x så att

$e^x=1+x+\frac{e^{\xi }}{2}{x}^2<1+x+\frac{e^x}{2}{x}^2,0<x\le 1$

med Taylorutveckling av ordning två. Nu kan e^ξ lösas ut för att visa att

$e^x\le \frac{1+x}{1-\frac{x^2}{2}}=2\frac{1+x}{2-x^2}\le 4,0\le x\le 1$

genom att minimera nämnaren och maximera täljaren. Kombinerat visar dessa två uppskattningar av e^ξ att

$|R_n(x)|\le \frac{4|x{|}^{n+1}}{(n+1)!}\le \frac{4}{(n+1)!},-1\le x\le 1,$

så den krävda precisionen är säkert uppfylld då

$\frac{4}{(n+1)!}<10^{-5}\iff 4\cdot 10^5<(n+1)!\iff n\ge 9.$

Med hjälp av Lagranges restterm och Taylorutveckling kan vi alltså uppskatta

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\dots +\frac{x^9}{9!}+R_9(x),|R_9(x)|<10^{-5},-1\le x\le 1.$

vilket i decimalform skulle ge e≈2.71828, med fem korrekta decimaler.

Se även

• Taylorserie
• Joseph Louis Lagrange

Referenser

• Mall:Bokref
• https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor's_theorem