Dixons identitet

Inom matematiken är Dixons identitet (eller Dixons sats eller Dixons formel) en av flera olika men nära relaterade identiteter bevisade av A. C. Dixon för summor med binomialkoefficienter.

Identiteterna

Den ursprungliga identiteten av Dixon (1891) är

\sum_{k = - a}^{a} (- 1)^{k} {(\binom{2 a}{k + a})}^{3} = \frac{(3 a)!}{(a!)^{3}} .

En generalisering, som också ibland kallas Dixons identitet, är

\sum_{k = - a}^{a} (- 1)^{k} (\binom{a + b}{a + k}) (\binom{b + c}{b + k}) (\binom{c + a}{c + k}) = \frac{(a + b + c)!}{a! b! c!}

där a, b och c är icke-negativa heltal. Summan i vänstra membrum är den terminerande hypergeometriska serien

(\binom{b + c}{b - a}) (\binom{c + a}{c - a})_{3} F_{2} (- 2 a, - a - b, - a - c; 1 + b - a, 1 + c - a; 1)

och identiteten följer av identiteten

_{3} F_{2} (a, b, c; 1 + a - b, 1 + a - c; 1) = \frac{Γ (1 + a / 2) Γ (1 + a / 2 - b - c) Γ (1 + a - b) Γ (1 + a - c)}{Γ (1 + a) Γ (1 + a - b - c) Γ (1 + a / 2 - b) Γ (1 + a / 2 - c)}

av Dixon (1902) då a närmar sig ett heltal. Den icke-terminerande identiteten ovan gäller då Re(1 + Mall:Fraca − b − c) > 0. Då c närmar sig −∞ blir den Kummers formel för hypergeometriska funktionen ₂F₁ vid −1.

q-Analogier

En q-analogi av Dixons formel ges av

_{4} ϕ_{3} [\begin{matrix} a & - q a^{1 / 2} & b & c \\ - a^{1 / 2} & a q / b & a q / c \end{matrix}; q, q a^{1 / 2} / b c] = \frac{(a q, a q / b c, q a^{1 / 2} / b, q a^{1 / 2} / c; q)_{\infty}}{(a q / b, a q / c, q a^{1 / 2}, q a^{1 / 2} / b c; q)_{\infty}}

med |qa^1/2/bc| < 1.

Källor

Dixons identitet

Identiteterna

q-Analogier

Källor

Navigeringsmeny

Sök