Ehrlings lemma

Inom matematiken är Ehrlings lemma (efter Gunnar Ehrling) ett resultat om Banachrum. Den används ofta inom funktionalanalys för att demonstrera ekvivalensen av normer över Sobolevrum.

Lemmat

Låt (X, ||·||_X), (Y, ||·||_Y) och (Z, ||·||_Z) vara tre Banachrum. Anta att

• X ⊆ Y och att varje ||·||_X-begränsad följd i X har en delföljd som ||·||_Y-konvergerar, och att
• Y ⊆ Z och att det finns en konstant k så att ||y||_Z ≤ k||y||_Y för alla y ∈ Y.

Då finns det för alla ε > 0 en konstant C(ε) så att för alla x ∈ X är

$\Vert x{\Vert }_Y\le \epsilon \Vert x{\Vert }_X+C(\epsilon )\Vert x{\Vert }_Z$

Korollarium (ekvivalenta normer för Sobolevrum)

Låt Ω ⊂ Rⁿ vara en öppen och sluten mängd och låt k ∈ N. Anta att Sobolevrummet H^k(Ω) är kompakt inbäddat i H^k-1(Ω). Då är följande två normer över H^k(Ω) ekvivalenta:

$\Vert \cdot \Vert :H^k(\mathrm{\Omega })\to 𝐑:u\mapsto \Vert u\Vert :=\sqrt{\sum _{|\alpha |\le k}\Vert {\mathrm{D}}^{\alpha }u{\Vert }_{L^2(\mathrm{\Omega })}^2}$

och

$\Vert \cdot {\Vert }^{\prime }:H^k(\mathrm{\Omega })\to 𝐑:u\mapsto \Vert u{\Vert }^{\prime }:=\sqrt{\Vert u{\Vert }_{L^1(\mathrm{\Omega })}^2+\sum _{|\alpha |=k}\Vert {\mathrm{D}}^{\alpha }u{\Vert }_{L^2(\mathrm{\Omega })}^2}.$

Källor

• Mall:Enwp
• Mall:Bokref