Kedjekomplex

Ett kedjekomplex är konstruktioner som ursprungligen användes inom algebraisk topologi.

Definition

Ett kedjekomplex $(A_{\bullet },d_{\bullet })$ är en serie av abelska grupper ... A₂, A₁, A₀, A_-1, A_-2, ... så att det finns homomorfier d_n : A_n→A_n−1, så att kompositionen av två efterföljande sådana är noll: d_n ∘ d_n+1 = 0 för alla n. Det här kan skrivas som:

$\cdots \to A_{n+1}\stackrel{d_{n+1}}{\to }{A}_n\stackrel{d_n}{\to }{A}_{n-1}\stackrel{d_{n-1}}{\to }{A}_{n-2}\to \cdots \stackrel{d_2}{\to }{A}_1\stackrel{d_1}{\to }{A}_0\stackrel{d_0}{\to }{A}_{-1}\stackrel{d_{-1}}{\to }{A}_{-2}\stackrel{d_{-2}}{\to }\cdots .$

Kedjefunktioner

En kedjefunktion f mellan två komplex $(A_{\bullet },d_{A,\bullet })$ och $(B_{\bullet },d_{B,\bullet })$ är en serie $f_{\bullet }$ av modulhomomorfier $f_n:A_n\to B_n$ för varje n så att $d_{B,n}\circ f_n=f_{n-1}\circ d_{A,n}$.

Exempel

de Rhamkohomologi

Mall:Main De differentiala k-formerna över en godtycklig differentierbar mångfald M bildar en abelsk grupp kallad Ω^k(M) under addition. Yttre derivatan d_k transformerar Ω^k(M) till Ω^k+1(M), och d ² = 0 följer från symmetrin av andraderivatan, så vektorrummet av k-former med yttre derivatan bildar ett kokedjekomoplex:

${\mathrm{\Omega }}^0(M)\stackrel{d_0}{\to }{\mathrm{\Omega }}^1(M)\to {\mathrm{\Omega }}^2(M)\to {\mathrm{\Omega }}^3(M)\to \cdots .$

Homologin av detta komplex är de Rhamkohomologi:

$H_{\mathrm{D}\mathrm{R}}^0(M,F)=\ker d_0=$ {lokalt konstanta funktioner över M med värden i F}

$H_{\mathrm{D}\mathrm{R}}^k(M)=\ker d_k/\mathrm{i}\mathrm{m}{d}_{k-1}.$

Källor

1. Mall:Enwp