Rotationsyta

Rotationsyta av en sinuskurva

En rotationsyta är den yta som uppkommer då en kurva roterar kring en annan kurva eller linje.

Satser

Rotationsarea för en funktion y₁(x) vid vertikal rotation kring en horisontell linje y = c

Låt y₁(x) vara definierad i ett intervall Mall:Nowrap, då varje y, givet av y₁(x) inom intervallet, ligger helt på en och samma sida om Mall:Nowrap inom intervallet ges den rotationsyta som uppstår då y₁(x) roterar kring Mall:Nowrap inom intervallet av

$A=2\pi \underset{l}{\overset{r}{\int }}|y_1(x)-c|\sqrt{1+y_1^{\prime }(x{)}^2}dx$

Rotationsarea för en funktion y(x) vid horisontal rotation kring en vertikal linje x = c

Låt y(x) vara definierad i ett intervall Mall:Nowrap, då varje y, givet av y(x) inom intervallet, ligger helt på en och samma sida om en horisontell linje Mall:Nowrap ges den rotationsyta som uppstår då y(x) roterar kring Mall:Nowrap inom intervallet av

$A=2\pi \underset{l}{\overset{r}{\int }}|x-c|\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx$

Bevis

Rotationsarea för vertikal rotation

"En kurva som roteras kring x-axeln."

Låt oss tänka att vi tar ett väldigt litet bågelement Δp av kurvan y₁(x). Eftersom detta bågelementet är väldigt litet så kan vi hantera det som en kort linje med längden av Δp. Vi låter nu Δp rotera kring Mall:Nowrap och får då en cylinder med höjden Δp, Mantelarean av denna cylinder är den rotationsarea som Δp ger upphov till. Mantelarean av en cylinder kan skrivas som 2πrh, där h är höjden och r är radien. I vårt fall är radien Δp`s avstånd till Mall:Nowrap och Δp's avstånd till Mall:Nowrap ges av y₁(x), således är radien på Δp`s cirkelväg.

$|y_1(x)-c|$.

Höjden på cylindern är längden av Δp, således har vi nu ett uttryck för mantelarean på den cylinder som Δp ger upphov till vid rotation kring Mall:Nowrap.

$A_{\text{mantel}}=2\pi |y_1(x)-c|\cdot \mathrm{\Delta }p$.

Båglängden av bågelementet Δp kan skrivas som

$\mathrm{\Delta }p=\sqrt{1+y_1^{\prime }(x{)}^2}dx$

Således har vi nu

$A_{\text{mantel}}=2\pi |y_1(x)-c|\sqrt{1+y_1^{\prime }(x{)}^2}dx$

Eftersom vi vill ha rotationsytan för hela y₁(x) så summerar vi rotationsytan för alla små bågelement Δp utmed y₁(x), då vi låter y₁(x) vara definierat i något intervall Mall:Nowrap får vi

$A=\underset{l}{\overset{r}{\int }}2\pi |y_1(x)-c|\sqrt{1+y_1^{\prime }(x{)}^2}dx$

Sedan är det bara att bryta ut 2π ur integralen för att få den slutliga formeln

$A=2\pi \underset{l}{\overset{r}{\int }}|y_1(x)-c|\sqrt{1+y_1^{\prime }(x{)}^2}dx$

Rotationsarea för horisontell rotation

Låt oss tänka att vi tar ett väldigt litet bågelement Δp av kurvan y₁(x). Eftersom detta bågelementet är väldigt litet så kan vi hantera det som en kort linje med längden av Δp. Vi låter nu Δp rotera kring Mall:Nowrap och får då en cylinder med höjden Δp, Mantelarean av denna cylinder är den rotationsarea som Δp ger upphov till. Mantelarean av en cylinder kan skrivas som 2πrh, där h är höjden och r är radien. I vårt fall är radien Δp`s avstånd till Mall:Nowrap och Δp`s avstånd till Mall:Nowrap ges av |Mall:Nowrap|, således är radien på Δp`s cirkelväg

$|x-c|$

Höjden på cylindern är längden av Δp, således har vi nu ett uttryck för mantelarean på den cylinder som Δp ger upphov till vid rotation kring Mall:Nowrap

$A_{\text{mantel}}=2\pi |x-c|\cdot \mathrm{\Delta }p$

Båglängden av bågelementet Δp kan skrivas som

$\mathrm{\Delta }p=\sqrt{1+y_1^{\prime }(x{)}^2}dx$

Således har vi nu

$A_{\text{mantel}}=2\pi |x-c|\sqrt{1+y_1^{\prime }(x{)}^2}dx$

Eftersom vi vill ha rotationsytan för hela y₁(x) så summerar vi rotationsytan för alla små bågelement Δp utmed y₁(x), då vi låter y₁(x) vara definierat i något intervall Mall:Nowrap får vi

$A=\underset{l}{\overset{r}{\int }}2\pi |x-c|\sqrt{1+y_1^{\prime }(x{)}^2}dx$

Sedan är det bara att bryta ut 2π ur integralen för att få den slutliga formeln

$A=2\pi \underset{l}{\overset{r}{\int }}|x-c|\sqrt{1+y_1^{\prime }(x{)}^2}dx$

Exempel

Vertikal rotation

Fråga

Vilken area har den yta som uppkommer då Mall:Nowrap, i intervallet Mall:Nowrap, roterar kring den horisontella linjen Mall:Nowrap?

Lösning

Vi använder satsen för vertikal rotation:

$A=2\pi \underset{l}{\overset{r}{\int }}|y_1(x)-y_2(x)|\sqrt{1+y_1^{\prime }(x{)}^2}dx$

I vårt fall är:

$y_1(x)=x^3$

$y=c=0$

$l=0$

$r=1$

Vi får således:

$A=2\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|x^3\right|\sqrt{1+((x^3{)}^{\prime }{)}^2}dx$

x³ är alltid positivt mellan 0 och 1, således behöver vi inte ha absolutbeloppet av x³. Derivatan, med avseende på x, av x³ är 3x² och Mall:Nowrap således har vi nu:

$A=2\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^3\sqrt{1+9x^4}dx$

Integrerar och får:

$A=2\pi {\left[\frac{(1+9x^4{)}^{\frac{3}{2}}}{54}\right]}_0^1=2\pi \frac{10^{\frac{3}{2}}-1}{54}=2\pi \frac{\sqrt{1000}-1}{54}$

Svar: Arean på ytan som uppkommer är $2\pi \frac{\sqrt{1000}-1}{54}$ areaenheter.