Skattningsfunktion

Inom matematisk statistik anger termen skattningsfunktion gradienten (vektorn av partiella derivator) av logaritmen av likelihood-funktionen.

Formellt sett, för en observation $X$ med likelihood-funktionen $L(\theta ;X)$, ges skattningen $V$ av:

$V=\frac{\partial }{\partial \theta }\log L(\theta ;X)=\frac{1}{L(\theta ;X)}\frac{\partial L(\theta ;X)}{\partial \theta }.$

$V$ är en funktion av $\theta$ (de parametrar som ska uppskattas) och X (observationerna).

Egenskaper

Medelvärde

Under vissa förhållanden är väntevärdet av $V$ vid observationen x noll, givet $\theta$ ($𝔼(V|\theta )$), lika med noll .

Om man skriver om likelihood-funktionen som en täthetsfunktion (L (θ, x) = f (x, θ)) får man att

$𝔼(V|\theta )=\underset{x=-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{\partial }{\partial \theta }\log f(x;\theta ))f(x;\theta )dx=\underset{x=-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\frac{\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}{f(x;\theta )}f(x;\theta )dx$

som, under vissa förhållanden, kan förenklas till:

$𝔼(V|\theta )=\underset{x=-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }dx=\frac{\partial }{\partial \theta }\underset{x=-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x;\theta )dx=\frac{\partial }{\partial \theta }1=0.$

Varians

Variansen av skattningen kallas för Fisherinformationen, betecknat $ℐ(\theta )$. Eftersom väntevärdet av skattningen är noll, ges variansen av skattningen av:

$ℐ(\theta )=𝔼\left\{{[\frac{\partial }{\partial \theta }\log L(\theta ;X)]}^2|\theta \right\}.$

Se även

• Ronald Fisher

Noter och referenser

• Cox, D.R., Hinkley, D.V. (1974) Theoretical Statistics, Chapman & Hall. Mall:ISBN
• Mall:Bokref