Cirkeldelningspolynom

I matematik är cirkeldelningspolynomet eller det cyklotomiska polynomet för ett positivt heltal n det moniska minimalpolynomet över Q för en primitiv n:te enhetsrot. Polynomet kan beskrivas som

${\mathrm{\Phi }}_n(x)=\prod _{\omega }(x-\omega ),$

där ω löper över mängden av primitiva n:te enhetsrötter. Detta antal är precis $\varphi (n)$, där $\varphi$ är Eulers φ-funktion. Därför har ${\mathrm{\Phi }}_n$ grad $\varphi (n)$.

De 104 första cirkeldelningspolynomen har bara 1, -1 och 0 som koefficienter. Emellertid är sjundegradskoefficienten liksom fyrtioförstagradskoefficienten i ${\mathrm{\Phi }}_{105}$ -2.

Exempel

${\mathrm{\Phi }}_1(x)=x-1$

${\mathrm{\Phi }}_2(x)=x+1$

${\mathrm{\Phi }}_3(x)=x^2+x+1$

${\mathrm{\Phi }}_4(x)=x^2+1$

${\mathrm{\Phi }}_5(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$

${\mathrm{\Phi }}_6(x)=x^2-x+1$

${\mathrm{\Phi }}_7(x)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$

${\mathrm{\Phi }}_8(x)=x^4+1$

${\mathrm{\Phi }}_9(x)=x^6+x^3+1$

${\mathrm{\Phi }}_{10}(x)=x^4-x^3+x^2-x+1$

${\mathrm{\Phi }}_{12}(x)=x^4-x^2+1$

${\mathrm{\Phi }}_{15}(x)=x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Phi }}_{105}(x)=& x^{48}+x^{47}+x^{46}-x^{43}-x^{42}-2x^{41}-x^{40}-x^{39}+x^{36}+x^{35}+x^{34}\\ & +x^{33}+x^{32}+x^{31}-x^{28}-x^{26}-x^{24}-x^{22}-x^{20}+x^{17}+x^{16}+x^{15}\\ & +x^{14}+x^{13}+x^{12}-x^9-x^8-2x^7-x^6-x^5+x^2+x+1\end{array}$

Egenskaper

Om n är ett primtal är

${\mathrm{\Phi }}_n(x)=1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}=\sum _{i=0}^{n-1}{x}^i.$

Om n är ett udda heltal större än 1 äe

${\mathrm{\Phi }}_{2n}(x)={\mathrm{\Phi }}_n(-x).$

Om n är ett jämnt heltal är

${\mathrm{\Phi }}_{2n}(x)={\mathrm{\Phi }}_n(x^2).$

Speciellt om n=2p med p ett udda primtal är

${\mathrm{\Phi }}_n(x)=1-x+x^2-\cdots +x^{p-1}=\sum _{i=0}^{p-1}(-x{)}^i.$

Om n=p^m är en primtalspotens är

${\mathrm{\Phi }}_n(x)={\mathrm{\Phi }}_p(x^{p^{m-1}})=\sum _{i=0}^{p-1}{x}^{i{p}^{m-1}}.$

Gauss formel

Låt n vara udda, kvadratfritt och större än 3. Då är

$4{\mathrm{\Phi }}_n(z)=A_n^2(z)-(-1{)}^{\frac{n-1}{2}}n{z}^2{B}_n^2(z)$

där både A_n(z) och B_n(z) har heltalskoefficenter, A_n(z) har gard φ(n)/2 och B_n(z) har grad φ(n)/2 − 2. Vidare är A_n(z) palindromisk då dess grad är jämn; om dess grad är udda är den antipalindromisk. Analogt är B_n(z) palindromisk förutom då n är sammansatt och ≡ 3 (mod 4), då den är antipalindromisk.

De första fallen är

$\begin{array}{cc}4{\mathrm{\Phi }}_5(z)& =4(z^4+z^3+z^2+z+1)\\ & =(2z^2+z+2{)}^2-5z^2\end{array}$

$\begin{array}{cc}4{\mathrm{\Phi }}_7(z)& =4(z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1)\\ & =(2z^3+z^2-z-2{)}^2+7z^2(z+1{)}^2\end{array}$

$\begin{array}{cc}4{\mathrm{\Phi }}_{11}(z)& =4(z^{10}+z^9+z^8+z^7+z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1)\\ & =(2z^5+z^4-2z^3+2z^2-z-2{)}^2+11z^2(z^3+1{)}^2\end{array}.$

Användningar

Genom att använda ${\mathrm{\Phi }}_n$ kan man ge ett elementärt bevis av oändligheten av primtal kongruenta 1 modulo n, vilket är ett specialfall av Dirichlets sats om aritmetiska följder.