Principalgren

Illustration av principalgrenen av den komplexa logaritmen. Kulören anger argumentet och mättnaden absolutbeloppet av Log z i punkten. Observera diskontinuiteten längs med negativa realaxeln.

En principalgren är grenen av en komplex funktion vars argument antar värdena i intervallet [-π, π]. Detta värde på argumentet kallas principalargument och betecknas med Arg z (stort A). Principalgrenen av den (flervärda) logaritmiska funktionen log z skrivs Log z och har värdet Log(z) = ln |z| + i Arg z med grensnittet i den negativa realaxeln. Log z är alltså diskontinuerlig, eftersom värdet "hoppar" med 2πi då z passerar negativa realaxeln. Detta kan bekräftas genom att räkna på gränsvärdet då Mall:Nowrap närmar sig -1 (eller någon annan punkt på negativa realaxeln):

$\underset{z\to -1,y>0}{\lim }\mathrm{Log}(z)=\underset{z\to -1,y>0}{\lim }\ln |z|+\mathrm{i}\mathrm{Arg}z=0+\mathrm{i}\pi$

och

$\underset{z\to -1,y<0}{\lim }\mathrm{Log}(z)=\underset{z\to -1,y<0}{\lim }\ln |z|+\mathrm{i}\mathrm{Arg}z=0-\mathrm{i}\pi$