Geronos lemniskata

Geronos Lemniskata med a = 1.

Konstruktion av Geronos lemniskata med en cirkel.

Konstruktion av Geronos lemniskata med två cirklar.

Geronos lemniskata, eller åttkurvan, är en plan fjärdegradskurva som ser ut som symbolen för oändlighet (∞) eller som en liggande åtta. Kurvan är sluten, Mall:Nowrap och Mall:Nowrap är symmetriaxlar och punkten (0,0) är symmetripunkt. Den har fått sitt namn efter den franske matematikern Camille-Christophe Gerono.

Alla punkter på kurvan uppfyller ekvationen

$x^4=a^2(x^2-y^2);a>0$

I polära koordinater blir kurvans ekvation

$r^2=a^2{\sec }^4\theta \cos (2\theta )$.

Den kan också parametriseras:

$\{\begin{array}{c}x=a\sin t\\ y=a\sin t\cos t\end{array}$

Kurvans area är:

$A=\frac{4}{3}{a}^2$

Konstruktion

Det finns flera sätt att konstruera kurvan med passare och rätskiva:

• Man väljer en punkt P som vandrar på cirkeln med radien a. Punkten M är P:s projektion på linjen med ekvationen Mall:Nowrap. Linjen OM korsar den vertikala linjen som passerar P, vilket ger punkten N på lemniskatan.
• Man väljer en punkt P som vandrar på cirkeln med radien a och centrum O och ritar en cirkel med diameter a och centrum Q som tangerar den stora cirkeln inifrån. Linjen OP möter den lilla cirkeln vid O och M. Den horisontella linjen som passerar M korsar den vertikala linjen som passerar P, vilket ger punkten N på lemniskatan.

Referenser

• Mall:Commonscat

Källor

• Mall:Bokref