Barkhausens rörformel

Barkhausens rörformel, uppkallad efter den tyske fysikern Heinrich Barkhausen, härledes från början från elektrotekniken där den användes vid beräkningar av elektronrör. Dess tillämpningsområde är i dagsläget mestadels inom termodynamiken.

Låt F(x,y,z) vara en funktion av klass C¹ från R³ till R.

Antag att F:s partiella derivator är skilda från noll i punkten (a,b,c):

$f_z^{\prime }(a,b,c)$ ≠ $0$.

Detta medför (enligt implicita funktionssatsen) att z i en omgivning av (a,b,c) är en partiellt deriverbar funktion av x och y med

$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\partial f{\text{'}}_x}{\partial f{\text{'}}_z}.$

På samma sätt leder $f_y^{\prime }(a,b,c)$ ≠ $0$ till att

$\frac{\partial y}{\partial z}=-\frac{\partial f{\text{'}}_z}{\partial f{\text{'}}_y}.$

Av $f_x^{\prime }(a,b,c)$ ≠ $0$ får vi

$\frac{\partial x}{\partial y}=-\frac{\partial f{\text{'}}_y}{\partial f{\text{'}}_x}.$

Från dessa får vi Barkhausens rörformel

$\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial z}\frac{\partial x}{\partial y}=-1,$

eller, med ett precisare skrivsätt som indikerar vilken variabel som hålls konstant vid den partiella deriveringen,

${\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}_y{\left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)}_x{\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)}_z=-1.$

Se även

Elektronrör