Momentgenererande funktion

Den momentgenererande funktionen (ofta förkortat mgf) för en stokastisk variabel X definieras som ${\psi }_X(t)=E[e^{tX}]$, om det finns ett h så att väntevärdet existerar och är ändligt för $|t|<h$.

Momentgenererande funktioner räknas ut olika beroende på om X är en kontinuerlig eller diskret stokastisk variabel, eftersom väntevärden räknas ut olika. Man får att:

$E[e^{tX}]=\{\begin{array}{cc}\sum _i{e}^{it}{p}_X(i)& X\text{diskret}\\ \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{tx}{f}_X(x)dx& X\text{kontinuerlig}\end{array}$

där f_X är X:s täthetsfunktion.

Egenskaper

Den momentgenererande funktionen bestämmer unikt fördelningen för stokastiska variabler. Så om två momentgenererande funktioner är lika, ${\psi }_X(t)={\psi }_Y(t)$, har de två stokastiska variablerna, $X$ och $Y$, lika fördelning.

Man kan visa att om ${\psi }_X(t)$ existerar för $|t|<h$ och något $h>0$ gäller

• $E[X{]}^r<\mathrm{\infty },\mathrm{\forall }r>0$
• Det n:te momentet till X kan beräknas med:

$E[X^n]={\frac{d^n{\psi }_X(t)}{d{t}^n}|}_{t=0}$

• Om Y = aX + b så är

${\psi }_Y(t)=e^{tb}{\psi }_X(at).$

• Om X och Y är oberoende stokastiska variabler med momentgenererande funktioner ${\psi }_X$ och ${\psi }_Y$ har den stokastiska variabeln W = X + Y den momentgenerernade funktionen

${\psi }_W(t)={\psi }_X(t){\psi }_Y(t).$

Referenser

• Mall:Bokref
• Mall:Bokref