Nilpotent matris

Inom matematiken är en nilpotent matris en kvadratisk matris $M$ sådan att $M^k=0$ för något positivt heltal k.

Exempel

Matrisen

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

är nilpotent eftersom $A^3=0$:

$A^2=A\times A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

$A^3=A\times A^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

Egenskaper

Låt $M$ vara en $n\times n$ nilpotent matris.

• För det minsta talet $k$ sådant att $M^k=0$ gäller att $k\le n$.

• $M$:s alla egenvärden är noll, för om $\lambda$ är ett egenvärde till $M$:

$M𝐱=\lambda 𝐱$

så gäller att

$M^2𝐱=MM𝐱=M\lambda 𝐱=\lambda M𝐱={\lambda }^2𝐱$

och i det generella fallet (genom matematisk induktion) att

$M^k𝐱={\lambda }^k𝐱$.

Men, då $M^k=0$ är vänsterledet noll, och alltså måste

${\lambda }^k=0\Rightarrow \lambda =0$.

Detta innebär att $M$:s determinant och spår är noll, samt att $M$:s sekularpolynom är ${\lambda }^n$

Mall:Linjär-algebra