Dominerade konvergenssatsen

Dominerade konvergenssatsen förkunnar att om $\mu$ är ett mått på en mängd $X$, $f_n$ är en följd av funktioner på $X$ som är integrerbara med avseende på $\mu$, sådana att de antingen konvergerar nästan överallt till en funktion $f$, vilket kan formuleras som att

$\mu \{x:|f_n(x)-f(x)|>\epsilon \}\to 0,n\to \mathrm{\infty }$

för varje $\epsilon >0$, och att $|f_n|\le |g|$, där $g$ är en integrerbar funktion, så är $f$ integrerbar och

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\int |f_n-f|\mathrm{d}\mu =0.$

Bevis

Mall:Källor Satsen kan bevisas enligt följande. Antag först att

$\mu \{x:|f_n(x)-f(x)|>\epsilon \}\to 0,n\to \mathrm{\infty }$

för varje $\epsilon >0$. Låt $E=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\{x:f_n(x)\ne 0\}.$ Då är $E$ en $\sigma$-ändlig mängd, vilket är uppenbart om $\mu$ är ett $\sigma$-ändligt mått och eljest är en direkt följd av att $f_n$ är integrerbara funktioner. Sålunda kan $E$ skrivas som en union

$E=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_k,$

där $E_k\subset E_{k+1}$ och $\mu (E_k)<\mathrm{\infty }$.

Låt $F_k=E\setminus E_k$. Då är

$\underset{F_k}{\int }|f_m-f_n|\mathrm{d}\mu \le \underset{F_k}{\int }(|f_m|+|f_n|)\mathrm{d}\mu \le 2\underset{F_k}{\int }g\mathrm{d}\mu .$

Det följer att det för varje ${\epsilon }_0>0$ finns ett tal $k_0$ sådant att

$\underset{F_k}{\int }|f_m-f_n|\mathrm{d}\mu <{\epsilon }_0,k\ge k_0,$

gäller för varje $m$ och $n$, alldenstund $\underset{F_k}{\int }g\mathrm{d}\mu \to 0$, när $k\to \mathrm{\infty }$.

Låt $G_{m,n}=\{x:|f_m(x)-f_n(x)|\ge {\epsilon }_1\}$. Då är

$\underset{E_k}{\int }|f_m-f_n|\mathrm{d}\mu =\underset{E_k\setminus G_{m,n}}{\int }|f_m-f_n|\mathrm{d}\mu +\underset{E_k\cap G_{m,n}}{\int }|f_m-f_n|\mathrm{d}\mu \le {\epsilon }_1\mu (E_k)+2\underset{E_k\cap G_{m,n}}{\int }g\mathrm{d}\mu .$

Ur antagandet om funktionerna $f_n$ följer att $\mu (G_{m,n})\to 0$ när $m,n\to \mathrm{\infty }$. Sålunda finns ett tal $n_0$ sådant att

$2\underset{E_k\cap G_{m,n}}{\int }g\mathrm{d}\mu <{\epsilon }_1,$

gäller för varje $m\ge n\ge n_0$. Detta ger nu att

$\int |f_m-f_n|\mathrm{d}\mu =\underset{F_k}{\int }|f_m-f_n|\mathrm{d}\mu +\underset{E_k}{\int }|f_m-f_n|\mathrm{d}\mu \le {\epsilon }_0+{\epsilon }_1\mu (E_k)+{\epsilon }_1,$

om $m\ge n\ge n_0$ och $k\ge k_0$. Härav följer att

$\underset{m,n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\int |f_m-f_n|\mathrm{d}\mu \le {\epsilon }_0+{\epsilon }_1\mu (E_k)+{\epsilon }_1,$

och sålunda gäller att

$\underset{m,n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\int |f_m-f_n|\mathrm{d}\mu \le {\epsilon }_0,$

eftersom $\mu (E_k)<0$. Det är nu lätt att se att

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\int |f_n-f|\mathrm{d}\mu =0,$

vilket bevisar satsen.

För att visa satsen när $f_n$ konvergerar till $f$ nästan överallt, räcker det att visa att

$\mu \{x:|f_n(x)-f(x)|>\epsilon \}\to 0,n\to \mathrm{\infty }$

för varje $\epsilon >0$. Låt

$E_n=\bigcup _{k=n}^{\mathrm{\infty }}\{x:|f_k(x)-f(x)|\ge \epsilon \}\subset \{x:g(x)\ge \epsilon /2\}.$

Eftersom $g$ är integrerbar så är $\mu (E_n)<\mathrm{\infty }$ och eftersom $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n=f$ nästan överallt så är $\mu (\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n)=0$. Det följer att $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mu (E_n)=0$. Enär $\{x:|f_n(x)-f(x)|\ge \epsilon \}\subset E_n$, följer det att

$\mu \{x:|f_n(x)-f(x)|>\epsilon \}\to 0,n\to \mathrm{\infty }$

för varje $\epsilon >0$. Detta slutför beviset av satsen.