Bolzanos sats

Bolzanos sats eller satsen om mellanliggande värden är en matematisk sats, som ofta kan användas då man vill undersöka om en ekvation, $f(x)=0$, går att lösa. Det enda kravet på funktionen $f$ är att den skall vara kontinuerlig.

Bolzanos sats eller satsen om mellanliggande värden

Låt $f:[a,b]⟶ℝ$ vara en kontinuerlig funktion på ett slutet och begränsat intervall $[a,b]\subseteq ℝ$. Antag att funktionsvärdena $f(a)$ och $f(b)$ är olika. Om $c$ är ett tal som ligger mellan talen $f(a)$ och $f(b)$, så finns det ett motsvarande tal, $x_c$, som ligger mellan talen $a$ och $b$ med egenskapen att

$c=f(x_c)$.

Användningar av Bolzanos sats

Vi är intresserade av att lösa ekvationen $f(x)=0$, där $f$ är en kontinuerlig icke-linjär funktion, exempelvis tredjegradspolynomet

$f(x)=x^3-15x-4.$

Vi ser att funktionsvärdena $f(3)=-22$ och $f(5)=46$ är olika och att talet 0 (noll) ligger mellan dem.

Bolzanos sats säger att det finns minst ett tal $x_0$, som ligger mellan talen 3 och 5, som är sådant att $f(x_0)=0$. Det existerar därför en lösning till ekvationen $f(x)=0$ och denna lösning är ett element i det slutna och begränsade intervallet [3,5].

Man kan lokalisera lösningen genom att halvera intervallet [3,5] och undersöka hur funktionsvärdet, $f(4)$, i intervallets mittpunkt förhåller sig till värdena $f(3)$ och $f(5)$ : Om $f(4)\ge 0$, så ligger lösningen till ekvationen någonstans i intervallet [3,4]. Om $f(4)\le 0$, så ligger lösningen någonstans i intervallet [4,5]; I detta fall råkar det vara så att $f(4)=0$, vilket visar att $x=4$ är en lösning till tredjegrads-ekvationen

$x^3-15x-4=0.$

Denna metod att lokalisera lösningar till ekvationer kallas Intervallhalverings-metoden.

Bevis av Bolzanos sats

Vi antar att funktionsvärdet $f(a)$ är mindre än $f(b)$ och väljer ut ett godtyckligt tal, $c$, som ligger mellan dessa värden:

$f(a)<c<f(b).$

Associerat med detta tal bildar vi mängden

$M_c=\{x\in [a,b]:f(x)<c\}.$

(Mängden $M_c$ är icke-tom, eftersom det innehåller talet $a$: $f(a)<c.$)

Talet $b$ är en övre begränsning till mängden $M_c$ – Det kan finnas flera övre begränsningar. Vi betecknar med symbolen $x_c$ den minsta av alla möjliga övre begränsningar, det vill säga supremum över mängden $M_c$:

$x_c=\sup M_c.$

(Supremum existerar eftersom paret $([a,b],<)$ är en välordnad mängd.)

Vi skall visa att talet $x_c$ har den önskade egenskapen att $f(x_c)=c$, genom att utesluta de två övriga möjligheterna $f(x_c)<c$ och $f(x_c)>c.$

Om funktionsvärdet $f(x_c)<c$ så är $f(z)<c$ också, om talet $z$ ligger tillräckligt nära talet $x_c$. Anledningen till detta är att funktionen $f$ är kontinuerlig i punkten $x_c$.

Kontinuiteten hos funktionen $f$ i punkten $x_c$ innebär att talet $f(z)$ ligger nära talet $f(x_c)$ :

$f(x_c)-\epsilon <f(z)<f(x_c)+\epsilon ,$

om talet $z$ ligger tillräckligt nära talet $x_c$,

$x_c-\delta (x_c,\epsilon )<z<x_c+\delta (x_c,\epsilon ).$

Vi har tillåtelse att välja det positiva talet $\epsilon$ som vi vill. Om vi väljer det positiva talet $\epsilon =c-f(x_c)$, så ser vi att $2f(x_c)-c<f(z)<c.$

Det går att välja talet $\delta$ så litet att det öppna intervallet $(x_c-\delta ,x_c+\delta )$ helt ligger innanför det slutna intervallet $[a,b]$.

Det finns alltså tal $z$ i mängden $M_c$ med egenskapen att $x_c-\delta <z<x_c+\delta$. Eftersom $z$ ligger i mängden $M_c$, måste $z$ vara mindre än varje övre begränsning av $M_c$, speciellt måste $z$ vara mindre än den minsta övre begränsningen av $M_c$: Talet $\sup M_c=x_c.$ Detta innebär att vi har fått en motsägelse:

Talen $z$ besitter de två motstridiga egenskaperna att $z\le x_c$ och $z>x_c.$

Vi måste därför dra slutsatsen att det inte finns sådana tal. Men vi kunde hävda att sådana tal fanns, genom att vi utgick från att funktionsvärdet $f(x_c)<c.$ Därför har vi lyckats visa att olikheten $f(x_c)<c$ inte gäller.

På liknande sätt som i fallet då $f(x_c)<c$, visar man att olikheten $f(x_c)>c$ inte gäller heller. Den enda möjligheten som återstår är att $f(x_c)=c,$ vilket var vad vi ville bevisa.

Eftersom talet $c\in [f(a),f(b)]$ var godtyckligt valt, har vi härmed bevisat Bolzanos sats.

Källor

• Mall:Bokref