Mittpunktsformeln

Mittpunktsformeln är en matematisk ekvation. Om man har två punkter, P₁ och P₂ som kan ligga var som helst i ett koordinatsystem, anger mittpunktsformeln ett sätt att få fram den punkt som ligger mitt emellan P₁ och P₂. Om O betecknar origo och vi kallar den eftersökta punkten mitt emellan P₁ och P₂ för M är formeln:

$\vec{O M} = \frac{1}{2} (\vec{O P_{1}} + \vec{O P_{2}})$

Eftersom origos koordinater är 0 så blir koordinaterna för M lika med $\vec{O M}$ .

Bevis

Med hjälp av vektoraddition kan man skriva $\vec{O M}$ som

$\vec{O M} = \vec{O P_{1}} + \vec{P_{1} M}$

$\vec{O M} = \vec{O P_{1}} + \frac{1}{2} \vec{P_{1} P_{2}}$ . Vi ser att $\vec{P_{1} M}$ är lika med $\frac{1}{2} \vec{P_{1} P_{2}}$ , eftersom M är mittpunkt på $\vec{P_{1} P_{2}}$ enligt definitionen på problemet.

$\vec{O P_{2}}$ kan vi beskriva som:

$\vec{O P_{2}} = \vec{O P_{1}} + \vec{P_{1} P_{2}}$ . Löser vi ut $\vec{P_{1} P_{2}}$ får vi:

$\vec{P_{1} P_{2}} = \vec{O P_{2}} - \vec{O P_{1}}$

Om vi insätter detta i formeln vi hade förut får vi:

$\vec{O M} = \vec{O P_{1}} + \frac{1}{2} \vec{P_{1} P_{2}} = \vec{O P_{1}} + \frac{1}{2} (\vec{O P_{2}} - \vec{O P_{1}}) = \frac{1}{2} (\vec{O P_{1}} + \vec{O P_{2}})$

Mittpunktsformeln

Bevis

Navigeringsmeny

Sök