Bernoullis olikhet

Bernoullis olikhet, efter Jakob Bernoulli, är en matematisk olikhet som approximerar exponentiering av 1+x. Den används ofta i bevis av andra olikheter.

Olikheten lyder

$(1+x{)}^n\ge 1+nx$

för varje heltal n ≥ 0 och varje reellt tal x > −1. Om exponenten n är jämn gäller olikheten för alla reella tal x. En strikt variant av olikheten lyder

$(1+x{)}^n>1+nx$

för varje heltal n ≥ 2 och varje reellt tal x ≥ −1 med x ≠ 0.

Bevis

Olikheten kan bevisas med hjälp av induktion:
För n = 0

$(1+x{)}^0\ge 1+0x⟺1\ge 1$

vilket är sant.

Antag nu att olikheten gäller för n=k:

$(1+x{)}^k\ge 1+kx$

Då gäller att

$(1+x{)}^{k+1}=(1+x)(1+x{)}^k\ge (1+x)(1+kx)$

från antagandena, då (1 + x) > 0, så

$(1+x{)}^{k+1}\ge 1+kx+x+k{x}^2=1+(k+1)x+k{x}^2\ge 1+(k+1)x$

(då kx² > 0) Detta ger att (1 + x)^k+1 > 1 + (k + 1)x, vilket bevisar att antagandet även gäller för n=k+1.

Induktion ger nu att olikheten gäller för alla n > 0.

Generaliseringar

Exponenten n kan generaliseras till ett godtyckligt reellt tal r enligt följande: om x > −1 är

$(1+x{)}^r\ge 1+rx$

om r ≤ 0 eller r ≥ 1, och

$(1+x{)}^r\le 1+rx$

för 0 ≤ r ≤ 1. Generaliseringen kan visas genom jämförelser av derivatorna. Återigen kräver den strikta varianten av olikheterna att x ≠ 0 och att r ≠ 0, 1.

Man kan även generalisera olikheten till godtyckliga faktorer:

$\prod _{i=1}^n(1+x_i)>1+\sum _{i=1}^n{x}_i$

om -1 < x_i < 0 gäller för all x_i eller x_i > 0 för alla x_i. Detta bevisas på motsvarande sätt som induktionsbeviset ovan.

Om man låter u_i = -x_i och -1 ≤ x_i ≤ 0 (med andra ord 0 ≤ u_i ≤ 1), får man Weierstrass produktolikhet:

$\prod _{i=1}^n(1-u_i)\ge 1-\sum _{i=1}^n{u}_i.$

Besläktade olikheter

Följande olikhet begränsar 1 + x upphöjt til r uppåt. För alla reella tal x, r > 0 gäller

$(1+x{)}^r<{\mathrm{e}}^{rx}$

där e är basen för naturliga logaritmen Detta kan visas genom att använda olikheten (1 + 1/k)^k < e.

Källor

• Mall:Översatt
• Mall:Översatt

Externa länkar

• Mall:Commonscat