Fullständig (modellteori)

Mall:Källor Mall:Härledningsbegrepp Inom matematisk logik sägs en teori T vara fullständig om för varje sluten formel kan avgöras i T.

Formell definition

Låt $T$ vara en teori i ett språk S. $T$ sägs vara fullständig om för varje sluten formel $\varphi \in S$ gäller antingen

$T⊢\varphi$ eller $T⊢\mathrm{\neg }\varphi$

Detta villkor är ekvivalent med att $T$ är maximal, dvs att det inte finns någon konsistent mängd formler $T^{\prime }$ så att $T\subset T^{\prime }$ men $T\ne T^{\prime }$.

Exempel

• Givet en modell M är mängden av formler sanna i M en fullständig teori.
• Teorin för algebraiskt slutna kroppar är fullständig.
• Teorin för en tät linjär ordning utan ändpunkter är fullständig.
• Mer allmänt är varje teori som är kategorisk i något kardinaltal fullständig.
• Teorin för differentiellt slutna kroppar är fullständig.
• Peanoaritmetiken är inte fullständig.
• Mer allmänt så är ingen rekursivt axiomatiserbar teori som interpreterar aritmetiken fullständig.