Spektrum (algebraisk geometri)

Ett spektrum är inom algebraisk geometri och kommutativ algebra ett topologiskt rum som består av mängden av primideal i en given ring, utrustad med Zariskitopologin. På detta topologiska rum finns en naturligt definierad kärve av ringar.

Definition

Låt $R$ vara en kommutativ ring. Då är $\mathrm{Spec}(R)$ mängden av primideal i $R$ med topologin som genereras av mängderna

$D_f=\{p\in \mathrm{Spec}(R)|f\in ̸p\}$

Låter vi sedan ${𝒪}_{\mathrm{Spec}(R)}(D_f)=R_f$, lokaliseringen av $R$ med avseende på potenser av $f$, definierar detta en kärve på $\mathrm{Spec}(R)$.

Funktorialitet

En ringhomomorfism $f:R\to S$ ger upphov till en avbildning $f^{*}:\mathrm{Spec}(S)\to \mathrm{Spec}(R)$ genom att sända ett primideal $𝔭\subset S$ till dess förbild $f^{-1}(𝔭)\subset R$. Detta är också ett primideal och alltså en punkt i $\mathrm{Spec}(R)$. Dessutom är $f^{*}$ kontinuerlig. Denna operation är kompatibel med sammansättning av ringhomomorfismer i meningen att

$(f\circ g{)}^{*}=g^{*}\circ f^{*}$.

Detta innebär att $\mathrm{Spec}$ är en (kontravariant) funktor från kategorin av ringar till kategorin av topologiska rum.

Användningsområden

I modern algebraisk geometri är spektra av ringar en lokal modell för algebraiska varieteter.

Referenser

• Mall:Bokref