Harmonisk funktion

En harmonisk funktion är en funktion som uppfyller Laplaces ekvation.

Definition

Låt f : Rⁿ → R, och låt U vara en öppen delmängd av Rⁿ. f är harmonisk på U om f är två gånger kontinuerligt deriverbar på U och

$\sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i^2}=0$

i varje punkt i U. Ekvationen ovan kallas Laplaces ekvation och skrivs ofta ${\mathrm{\nabla }}^{2}f=0$ eller $\mathrm{\Delta }f=0.$

Koppling till analytiska funktioner

Följande sats visar att real- och imaginärdelarna av en analytisk funktion är harmoniska.

Sats 1.

Låt f(z) = u(x,y) + iv(x,y) vara analytisk på en öppen mängd U. Då är funktionerna u(x,y) och v(x,y) harmoniska på U.

Bevis.

Eftersom real- och imaginärdelarna av en analytisk funktion har kontinuerliga partiella andraderivator så gäller att

$\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y}$

Genom att använda Cauchy-Riemanns ekvationer får vi

$\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y}\iff \frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}=-\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}$

vilket visar att v är harmonisk på U. Att även u är det visas analogt.

Genom att använda Cauchy-Riemanns ekvationer kan vi också, givet en harmonisk funktion u(x,y) finna en annan harmonisk funktion v(x,y) sådan att u(x,y) + iv(x,y) är analytisk. v är här ett så kallat harmoniskt konjugat av u.

Exempel

Exempel på harmoniska funktioner:

$f(x_1,x_2)=\ln (x_1^2+x_2^2)$

$u(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

Egenskaper

Medelvärdesegenskapen

Låt f: U → R vara kontinuerlig på en öppen mängd U $\subseteq$ C. Antag att det för varje $z_0$ i U gäller att

$\{z;|z-z_0|\le {ϵ}_{z_0}\}\subseteq U$

för något ${ϵ}_{z_0}>0.$ Om det gäller att

$f(z_0)=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(z_0+ϵe^{it})dt$

för varje $0<ϵ<{ϵ}_{z_0}$ så är f harmonisk.

Maximum och minimum

Låt U vara en begränsad enkelt sammanhängande och öppen mängd med rand D. Om f är harmonisk på U och kontinuerlig på U och D så antar f sitt maximum och minimum på D.

Liouvilles sats

Om f är harmonisk och uppåt eller nedåt begränsad på Rⁿ är f konstant.

Kommentarer

Harmoniska funktioner är mycket viktiga inom matematisk fysik. Exempelvis kan vi låta u(x,y,z) beteckna den elektrostatiska potentialen som orsakas av laddningar i rummet. Då är u harmonisk på de områden i rummet där laddningstätheten är 0. Andra fysikaliska exempel då harmoniska funktioner uppkommer är tvådimensionella vätskeflödesproblem och jämviktstemperaturproblem.

Se även

• Potentialteori

Källor

• E.B. Saff, A.D. Snider. Fundamentals of complex analysis. Third edition.
• A. Persson, L-C Böiers. Analys i flera variabler.
• Weisstein, Eric W. "Mean-Value Property." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Mean-ValueProperty.html