Trapetsregeln

Approximation av integralen ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ med en trapets.

Sammansatta trapetsregeln

Trapetsregeln (ej att förväxla med trapetsmetoden) är en numerisk metod för att approximera en bestämd integral på formen ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$.

Metoden går ut på att integralen av $f(x)$ på intervallet $[a,b]$ kan approximeras med en trapets,

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x\approx (b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}.$

Sammansatta trapetsregeln

Genom att dela in intervallet $[a,b]$ i $N$ stycken delintervall med längd $h=(b-a)/N$ och tillämpa trapetsregeln på vart och ett av delintervallen fås den sammansatta trapetsregeln,

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x\approx T(h):=h\sum _{k=1}^N\frac{f(x_k)+f(x_{k+1})}{2},$

där $x_k=a+(k-1)h$, $k=1,...,N+1$, så att $x_1=a$ och $x_{N+1}=b$.

Varierande intervallängd

Om intervallängden $h_k=x_{k+1}-x_k$ inte är konstant kan den sammansatta trapetsregeln uttryckas på sin allmänna form,

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x\approx \sum _{k=1}^N(x_{k+1}-x_k)\frac{f(x_k)+f(x_{k+1})}{2}.$

Trunkeringsfel

Trunkeringsfelet för den sammansatta trapetsregeln kan uttryckas som

$e(h)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x-T(h)=c_1{h}^2+c_2{h}^4+c_3{h}^6+...=𝒪(h^2),$

det vill säga den dominerande feltermen är proportionell mot $h^2$, så metoden har noggrannhetsordning två.