Sannolikhetsfunktion

En sannolikhetsfunktion eller frekvensfunktion. är en funktion som ger sannolikheten att en diskret stokastisk variabel antar ett visst värde. Mer precist, om X: S → R är en diskret stokastisk variabel så definieras sannolikhetsfunktionen till X som funktionen p_X: R → [0,1] sådan att

$p_X(x)=P(X=x)=P(\{s\in S:X(s)=x\}).$

I ord så är värdet av f_X i punkten x lika med sannolikheten att X antar värdet x. Motsvarigheten för kontinuerliga stokastiska variabler kallas täthetsfunktion.

Exempel

Om man låter en stokastisk variabel X bero på utfallet av ett myntkast, så består utfallsrummet S av utfallen krona eller klave. Låt X anta värdet 1 om krona fås, 0 om klave fås och anta att sannolikheten är lika stor att få krona som att få klave. Sannolikhetsfunktionen ges av:

$p_X(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& x\in \{0,1\}\\ 0& \text{annars}\end{array}$

Egenskaper

Låt X vara en diskret stokastisk variabel. Då gäller för sannolikhetsfunktionen p_X:

$\sum _{-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }}{p}_X(x)=1$

$P(A\le X\le B)=\sum _{A\le x\le B}{p}_X(x)$

Om F_X är X:s fördelningsfunktion fås sannolikhetsfunktionen p_X ur:

$p_X(k)=\{\begin{array}{cc}{F}_X(0)& k=0\\ F_X(k)-F_X(k-1)& \text{annars}\end{array}$

Man kan beräkna en betingad sannolikhetsfunktion, givet att någon händelse B inträffat. Detta betecknas och kan räknas ut som:

$p_{X|B}=\{\begin{array}{cc}\frac{P_X(x)}{P(B)}& x\in B\\ 0& \text{annars}\end{array}$

Referenser

Källor

• Mall:Bokref
• Mall:Bokref