Visa källa för Varians

[[Fil:NormalDist.png|miniatyr|upright=1.3|Två oberoende [[normalfördelning|normalfördelade]] stokastiska variabler med samma väntevärde, men olika varianser. Den blå linjen är N~(5, 2), med variansen 2 och den gröna är N~(5, 4), med variansen 4]]
'''Varians''' är inom sannolikhetsteori och [[matematisk statistik]], [[väntevärde]]t för den kvadratiska avvikelsen hos en [[stokastisk variabel]] från dess [[medelvärde]] och ger ett informellt mått på hur mycket en uppsättning (slump) tal är utspridda kring medelvärdet. Variansen är av central betydelse inom statistiken. Den används inom beskrivande statistik, statistisk inferens, [[Monte Carlo-metoden]], med mera. Liksom väntevärdet, är varians en egenskap hos en [[stokastisk variabel]] och dennas 
[[sannolikhetsfördelning]].

==Definitioner==
Variansen definieras som σ<sup>2</sup> för en [[Diskreta värden|diskret]] sannolikhetsfördelning enligt
:<math>\operatorname{Var}(X) = \sigma^2 = \sum_{i=1}^N P(x_i)(x_i-\mu)^{2}</math> 
där summeringen görs över alla ''x'' i [[utfallsrum]]met Ω och ''μ'' är väntevärdet på ''X''. σ är [[Standardavvikelse|standardavvikelsen]].<br />
För en [[Kontinuerlig funktion|kontinuerlig]] sannolikhetsfördelning definieras variansen som
:<math>\operatorname{Var}(X) = \sigma^2 = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) (x-\mu)^{2}\,dx</math>
där ''f''(''x'') är fördelningens [[täthetsfunktion]] (frekvensfunktion).
Det går också att definiera variansen med hjälp av [[väntevärde]]t ''E''(''X''):
:<math>\operatorname{Var}(X) = \sigma^2 = E((X-E(X))^2) = E(X^2) - E(X)^2</math>
det vill säga väntevärdet på [[kvadrat]]en för avvikelsen från väntevärdet.

[[kvadratrot|Kvadratroten]] ur variansen (σ) kallas sannolikhetsfördelningens [[standardavvikelse]]. Även standardavvikelsen är ett exempel på [[spridningsmått]] för en sannolikhetsfördelning.

==Exempel==
===Normalfördelning===
[[Normalfördelning]]en med parametrarna ''μ'' och ''σ'' är en kontinuerlig fördelning vars [[täthetsfunktion]] ges av
:<math>
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }
</math>
I denna fördelning är ''E''(''X'') = ''μ'' och variansen Var(''X'') är relaterad till ''σ'' via
:<math>
\operatorname{Var}(X) = \int_{-\infty}^\infty \frac{(x - \mu)^2}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \, dx = \sigma^2
</math>
Normalfördelningens roll i den [[centrala gränsvärdessatsen]] är till en del orsak till den relativt vanliga förekomsten av varians inom sannolikhetslära och statistik.



[[Kategori:Sannolikhetsteori]]
[[Kategori:Statistik]]