Visa källa för Triangel

[[Fil:Triangle-notations.svg|mini|stående=1.2|Triangel är en tresidig polygon]]
'''Triangel''' (av {{lang-la|triangulum}}), '''trekant''', '''trehörning''' eller '''trigon'''<ref name="saob triangel"/><ref name="saob trekant"/><ref name="saob trehörning"/><ref name="saob trigon"/>{{anmärkning|Jämför: [[kvadrangel]], [[fyrhörning]], [[fyrhörning]], [[tetragon]]}} är en tresidig [[polygon]] och en av de grundläggande geometriska formerna. En triangel begränsas av tre räta linjer vars skärningpunkter bildar triangelns '''hörn'''.

Triangelns hörn betecknas vanligen med ''A, B, C'' och motsvarande vinklar med <math>\alpha, \beta, \gamma</math>. Triangeln kan refereras till som ''triangeln ABC'' eller betecknas <math>\triangle ABC</math>.

Sidan ''a'' säges vara ''motstående sida'' till hörnet ''A'' och vinkeln <math>\alpha</math>. Hörnet ''A'' sägs vara ''motstående hörn'' till sidan ''a''.

[[Semiperimeter]]n är triangelns halva omkrets eller
:<math>\ s = \frac{1}{2}\left(a+b+c\right) </math>

Artikeln behandlar trianglar i planet; trianglar på [[sfärisk triangel|sfäriska]] och [[hyperbolisk triangel|hyperboliska]] ytor har särskilda artiklar.

== Typer av trianglar ==
:[[Fil:Triangel-slag.svg|left|560px]]{{clear|left}}
En triangel är
*''Spetsvinklig'' om alla vinklar är mindre än 90 grader
*''Rätvinklig'' om en vinkel är rät (90 grader eller <math>\pi/2</math> radianer)
*''Trubbvinklig'' om en av vinklarna är större än 90 grader
:[[Fil:Triangel-liksidig-likbent.svg|left|350px]]{{clear|left}}
*''[[Likbent triangel|Likbent]]'' om två sidor är lika långa
*''[[Liksidig triangel|Liksidig]]'' om alla sidor är lika långa

== Vinklar ==
:[[Fil:Triangel-vinklar-2.png|left|300px]]{{clear|left}}

[[Supplementvinkel]]n till en vinkel i en triangel kallas ''yttre vinkel''.

=== Vinkelsumma ===
:[[Fil:Triangel-vinkelsumma.svg|left|240px]]{{clear|left}}
En linje som dras genom ett av triangelns hörn och är parallell med motstående sida, visar att triangelns vinkelsumma är 180 grader.

== Höjder ==
En triangels höjder är normaler dragna från en sida, eller en sidas förlängning, till motstående hörn. Höjderna skär varandra i en punkt.

:[[Fil:Triangel-höjder.png|left|500px]]{{clear|left}}
Höjden mot sidan ''a'' har längden
:<math>h_a = \frac{2}{a}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math>
där ''s'' är semiperimetern (triangelns halva omkrets).
Övriga längder beräknas på motsvarande sätt.

== Bisektriser ==
{{Huvudartikel|Bisektris}}
:[[Fil:Triangel-bisektris-2x.png|left|380px]]{{clear|left}}
En bisektris delar en av triangelns vinklar i två lika delar.

Bisektrisen till en yttre vinkel kallas ''yttre bisektris''.

Bisektriserna skär varandra i en punkt som också är den inskrivna cirkelns centrum.

=== Bisektrisens längd ===
:[[Fil:bisektrissatsen.png|mini|Bisektrissatsen]]
Längden av bisektrisen från hörnet ''A'' är
:<math> t_a = \frac{2bc}{b + c}\cos{\frac{\alpha}{2}}.</math>

=== Bisektrissatsen ===
En bisektris delar motstående sida i samma proportioner som längderna av de sidor som bildar den delade vinkeln:
:<math>\frac{b}{c} = \frac{x}{y}\quad</math> (1)
Drag sidan ''CD'' med längden ''AC'' parallell med sidan ''AB''. Då är trianglarna ''CDE'' och ''ABE'' likformiga och sambandet (1) följer.

== Medianer ==
:[[Fil:Triangel-medianer-2.png|left|220px]]{{clear|left}}
[[Median (geometri)|Medianen]] är en linje från ett av triangelns hörn till motstående sidas mittpunkt. Medianerna skär varandra i triangelns geometriska tyngdpunkt.

Medianernas längder är
:<math>m_a = \tfrac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2},</math>
:<math>m_b = \tfrac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2},</math>
:<math>m_c = \tfrac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}.</math>

== Area ==
Triangelns area är en höjd multiplicerad med motsvarande sida dividerat med 2<ref name="Springer"/> eller
:<math>A = \frac {a h_a}{2} =  \frac {b h_b}{2} = \frac {c h_c}{2}</math>

Arean kan också beräknas med [[herons formel]] som
:<math> A =  \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math>
där ''s'' är [[semiperimeter]]n (triangelns halva omkrets).

Arean kan även beräknas med den [[trigonometri]]ska [[sinus]]funktionen enligt [[areasatsen]]
:<math> A = \frac{a b \sin \gamma}{2} = \frac{a c \sin \beta}{2} = \frac{b c \sin \alpha}{2}  </math>

=== Med integral ===
:[[Fil:Triangel-area-calc.png|left|240px]]{{clear|left}}
Arean av en triangel kan beräknas med integralen
:<math>A = \int_0^h x\frac{a}{h}dx = \left[\frac{a}{2 h} x^2\right] _0^h  = \frac{1}{2 h} a h^2 = \frac{1}{2}a h</math>

=== Med vektorer ===
:[[Fil:Triangle.GeometryArea.svg|300px|left|thumb|Triangelns area är hälften av arean av en parallellogram med samma bas och höjd]]{{clear|left}}
Arean av en [[parallellogram]] i ett tredimensionellt [[euklidiskt rum]] kan beräknas med hjälp av [[vektor]]er. Låt vektorerna ''AB'' och ''AC'' svara mot sträckan från ''A'' till ''B'' respektive ''A'' till ''C''. 
Arean av parallellogrammen ABCD är
:<math>|{AB}\times{AC}|,</math>
vilket är magnituden av [[kryssprodukt]]en av vektorerna ''AB'' och ''AC''.
Arean av triangeln ABC är hälften av denna
:<math>\frac{1}{2}|{AB}\times{AC}|</math>

Triangelns area kan med hjälp av [[skalärprodukt]] skrivas som
:<math>
\frac{1}{2} \sqrt{(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AB})(\mathbf{AC} \cdot \mathbf{AC}) -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2} =\frac{1}{2} \sqrt{ |\mathbf{AB}|^2 |\mathbf{AC}|^2 -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2}\,
</math>

I en tvådimensionell euklidisk rymd kan vektorn ''AB'' skrivas som (''x''<sub>1</sub>,''y''<sub>1</sub>) och ''AC'' som (''x''<sub>2</sub>,''y''<sub>2</sub>), vilket ger arean som
:<math>
\frac{1}{2}\,|x_1 y_2 - x_2 y_1|\,
</math>

== Samband mellan sidor och vinklar ==
:[[Fil:Triangle-notations.svg|260px|left]]{{clear|left}}

=== [[Cosinussatsen]] ===
:<math>a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos \alpha</math> 
:<math>b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos \beta</math> 
:<math>c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos \gamma</math>
Om till exempel vinkeln <math>\gamma</math> är rät och då <math>\cos(\pi/2) = 0</math> erhålls [[Pytagoras sats]]
:<math>c^2\ = a^2 + b^2</math>

=== [[Sinussatsen]] ===
:<math>\frac{\sin \alpha}{a}=\frac{\sin \beta}{b}=\frac{\sin \gamma}{c}</math>

=== [[Tangenssatsen]] ===
:<math>\frac{a - b}{a + b} = \frac{\tan (\frac{1}{2}(\alpha - \beta))}{\tan (\frac{1}{2}(\alpha + \beta))}</math>

== Cirklar ==
=== Omskrivna cirkeln ===
:[[Fil:Triangel-cirklar-2.svg|left|200px]]{{clear|left}}
Den omskrivna cirkelns centrum ligger i skärningspunkten av sidornas mittpunktsnormaler och

dess [[radie]] är
:<math>R = \frac{abc}{4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}</math>.

<gallery>
Image:Triangle (Acute) Circumscribed.svg|För en spetsvinklig triangel ligger omskrivna cirkelns mittpunkt inuti triangeln.
Image:Triangle (Right) Circumscribed.svg|För en rätvinklig triangel sammanfaller omskrivna cirkelns mittpunkt med hypotenusans mittpunkt (se [[Thales sats]]).
Image:Triangle (Obtuse) Circumscribed.svg|För en trubbvinklig triangel ligger omskrivna cirkelns mittpunkt utanför triangeln.
</gallery>

=== Inskrivna cirkeln ===
:[[Fil:Triangel-inskrivna-cirkeln.svg|left|280px]]{{clear|left}}
Den inskrivna cirkelns mittpunkt är bisektrisernas skärningspunkt och dess radie är
:<math>r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}</math>
där ''s'' är semiperimetern.

=== Vidskrivna cirkeln ===
:[[Fil:Triangel-vidskrivna-cirkeln.svg|left|360px]]{{clear|left}}
Bisektrisen från ''A'' och bisektrisen från ''B'''s yttre vinkel skär varandra i den vidskrivna cirkelns mittpunkt.
Den vidskrivna cirkelns radie om cirkeln tangerar sidan ''a'' är
:<math>\ r_a = \frac{T}{s - a}</math>
där ''T'' är triangelns area och ''s'' semiperimetern.

== Kongruensfall ==
Två trianglar är [[Kongruens (geometri)|kongruenta]] om de kan fås att sammanfalla genom rotation, translation och spegling.

===Första kongruensfallet (SVS, sida-vinkel-sida)===
:Om för <code>∆</code>ABC och <code>∆</code>A'B'C' gäller att AB = A'B', AC = A'C' och <code>∠</code>A = <code>∠</code>A', så är <code>∆</code>ABC kongruent med <code>∆</code>A'B'C'.

===Andra kongruensfallet (SSS, sida-sida-sida)===
:Om för <code>∆</code>ABC och <code>∆</code>A'B'C' gäller att AB = A'B', AC = A'C' och BC = B'C', så är <code>∆</code>ABC kongruent med <code>∆</code>A'B'C'.

===Tredje kongruensfallet (VSV, vinkel-sida-vinkel)===
:Om för <code>∆</code>ABC och <code>∆</code>A'B'C' gäller att AB = A'B', <code>∠</code>A = <code>∠</code>A' och <code>∠</code>B =<code>∠</code>B', så är <code>∆</code>ABC kongruent med <code>∆</code>A'B'C'.

== Likformighet ==
:[[Fil:Trianglar-likformiga.svg|left|400px]]{{clear|left}}
Om det för två trianglar med sidorna

<math>\ a_1,\ b_1,\ c_1</math> respektive <math>\ a_2,\ b_2,\ c_2</math>, existerar ett tal  <math>\lambda\,</math>, en skalfaktor, sådant att
:<math>\ a_1 = \lambda a_2,\quad b_1 = \lambda b_2,\quad c_1 = \lambda c_2</math>
sägs trianglarna vara likformiga.

Likformighet betecknas
:<math>\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'</math>

===Första likformighetsfallet (SVS, Sida-Vinkel-Sida)===
Om för två trianglar ''ABC'' och ''A'B'C'''
:<math>\frac{|AB|}{|A'B'|} = \frac{|AC|}{|A'C'|}</math>
och
:<math>\angle A \cong \angle A'</math>
är trianglarna likformiga.

===Andra likformighetsfallet (SSS, Sida-Sida-Sida)===
Om för två trianglar ''ABC'' och ''A'B'C'''
:<math>\frac{|AB|}{|A'B'|} = \frac{|AC|}{|A'C'|} = \frac{|BC|}{|B'C'|}</math>
är trianglarna likformiga.

===Tredje likformighetsfallet (VV, Vinkel-Vinkel)===
Om för två trianglar ''ABC'' och ''A'B'C'''
:<math>\angle A \cong \angle A',\quad \angle B \cong \angle B'</math>
är trianglarna likformiga. Den tredje vinkeln C följer av att summan av alla vinklar i en triangel är 180 grader.

== Triangelns tyngdpunkt ==
:[[Fil:Triangel, tyngdpunkt.svg|left|220px]]{{clear|left}}
En triangelformad ytas [[masscentrum]] (tyngdpunkt) ligger på en tredjedel av höjden räknat från basen.

Medianernas skärningspunkt sammanfaller med masscentrum.
:[[Fil:Triangel-centroid-calc.png|260px|right]]
Tyngdpunktens avstånd till en sida kan beräknas med en integral. Vi kan anta att ytdensiteten (massa per areaenhet) är = 1. Arean <math>x\frac{a}{h}dx</math> utövar då momentet <math>x\cdot x\frac{a}{h}dx</math> med avseende på [[origo]], vilket för hela triangeln ger

:<math>\int_0^h x\cdot x\frac{a}{h}dx = \left[\frac{a}{3 h} x^3\right] _0^h  = \frac{1}{3}a h^2 = \frac{2}{3}A h</math>

där ''A'' är triangelns area. Det moment triangeln utövar kan anses angripa i tyngdpunkten vilket ger
:<math> T_p A = \frac{2}{3}A h\ \rightarrow\ T_p = \frac{2}{3}h \rightarrow d = \frac{h}{3}</math>

=== Med lodlina ===
:[[Fil:Triangle-centroid-find.svg|left|300px]]{{clear|left}}
Det går att finna ett tunt och plant föremåls tyngdpunkt med hjälp av en lodlina. Lodlina och (i detta fall) triangel hängs fritt från en fästpunkt och lodlinjen markeras. Detta upprepas för en andra fästpunkt. Lodlinjernas skärningspunkt är tyngdpunktens läge.

== Se även ==
* [[Triangulering]]
* [[Geometri]]
** [[Polygon]]
** [[Pythagoras sats]]
** [[Hyperbolisk triangel]]
** [[Sfärisk triangel]]
** [[Sierpinskitriangel]]
** [[Herons formel]]
** [[Cirkel]]
* [[Trigonometri]]
** [[Areasatsen]]
** [[Sinussatsen]]
** [[Cosinussatsen]]
* [[Märken för fångar i nazistiska koncentrationsläger]]

== Anmärkningar ==
{{anmärkningslista}}

== Referenser ==
* [http://mathworld.wolfram.com/Triangle.html Weisstein, Eric W. "Triangle." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.]
<references>
<ref name="Springer">{{Bokref |titel=Schlag nach!: 100000 Tatsachen aus allen Wissensgebieten |år=2012|utgivare=Fachrekationen des Bibliographischen Instituts & Springer-Verlag |isbn= |språk=tyska |sid=29|kapitel=Flächenberechnung |kapitelurl=https://books.google.de/books?id=KNCvDAAAQBAJ&newbks=1&newbks_redir=0&lpg=PA557&dq=Leichtathletik&hl=de&pg=PA29#v=onepage&q&f=false }}</ref>

<!-- SAOB -->
<ref name="saob triangel">{{SAOB|ord=triangel}}</ref>
<ref name="saob trekant">{{SAOB|ord=trekant}}</ref>
<ref name="saob trehörning">{{SAOB|ord=trehörning}}</ref>
<ref name="saob trigon">{{SAOB|ord=trigon}}</ref>
</references>

== Externa länkar ==
* {{wiktionarypar}}
* {{commonscat|Triangles}}

{{Geometriska figurer}}
{{Polygoner}}

[[Kategori:Trigonometri]]
[[Kategori:Polygoner]]
[[Kategori:Grundläggande matematik]]
[[Kategori:Trianglar| ]]