Visa källa för Topologi

{{Fler källor|månad=2020-03}}
{{Förväxlas|Topografi}}
[[Fil:Konigsberg bridges.png|miniatyr|höger|[[Königsbergs sju broar|Broarna i Königsberg]] är ett klassiskt topologiskt problem.]]

'''Topologi''' från [[grekiska]]ns ''τόπος'' ("[[topos]]": plats, ställe) och ''λόγος'' ("logos": lära), är en gren inom den moderna [[matematik]]en. Det är en form av [[geometri]] där endast formen på objekten, och inte några avstånd, betraktas.<ref>{{Webbref|titel=topologi - Uppslagsverk - NE.se|url=https://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/l%C3%A5ng/topologi|verk=www.ne.se|hämtdatum=2020-05-27}}{{inloggning krävs}}</ref>

En topologi beskriver ett antal volymers fysiska form och formen på deras gemensamma rum såsom de gemensamma resulterande öppningarna och överbryggningarna. En topologisk beskrivning kan till exempel vara ett schema över hållplatserna för kollektivtrafik som inte tar hänsyn till avstånden. Topologi är viktigt för att avgöra [[logistik]] då man adderar anläggningar av industrikomplex i flera plan och i många byggnader. Topologi används också då man anlägger datanätverk och väljer hur datorerna skall kopplas samman i förhållande till varandra i [[datornätverk|nätverk]].

Topologi föddes i början av 1900-talet och är därför ett relativt nytt område inom matematiken. Den har visat sig mycket användbar och tillämpas idag inom andra grenar av matematik såsom [[Matematisk analys|analys]] och [[algebra]], såväl som inom andra vetenskaper som till exempel [[fysik]] och [[genetik]].

I [[geografisk databas|geografiska databaser]] är topologi en förutsättning för att kunna göra vissa [[GIS]]-analyser, såsom närmaste väg mellan två noder, se vilka objekt som finns intill varandra osv.

Topologin generaliserar begreppen [[kontinuerlig funktion]] och [[öppen mängd]]. Den introduceras ofta genom att först definiera ''"topologiska rum"'', sedan "''kontinuerliga funktioner''" mellan dessa rum. Därefter studerar man olika "''topologiska egenskaper''" hos dessa. Se definitioner nedan.

== Definition ==
Ett '''topologiskt rum''' är ett par (''X'', ''T''), där ''X'' är en mängd och ''T'' en samling av [[delmängd]]er till ''X''. Denna samling kallas för en '''topologi''' på ''X'' och definieras av följande tre egenskaper.<ref name="Nakahara"/>

# [[Familj (matematik)|Familjen]] ''T'' innehåller mängden ''X'' och den [[tomma mängden]] ''Ø''.
# Familjen ''T'' är sluten under bildandet av godtyckliga unioner: Om {''A<sub>i</sub>''}<sub>''i'' ∈ ''I''</sub>  är en godtycklig samling av mängder där varje mängd ''A<sub>i</sub>'' tillhör familjen ''T'', så är unionen ⋃<sub>''i'' ∈ ''I''</sub> ''A<sub>i</sub>'' också ett element i familjen ''T''.
# Familjen ''T'' är sluten under bildandet av ändliga snitt: Om {''A<sub>i</sub>''}{{sup sub|''n''|''i''{{=}}1}} &nbsp; &nbsp; är en ändlig samling av mängder där varje mängd ''A<sub>i</sub>'' tillhör samlingen ''T'', så är snittet ⋂{{sup sub|''n''|''i''{{=}}1}} &nbsp; ''A<sub>i</sub>'' också ett element i familjen ''T''.

En delmängd ''A'' av ''X'' säges vara '''öppen''' med avseende på en topologi ''T'', om ''A'' är ett element i familjen ''T''. Om topologin är underförstådd i sammanhanget säger man bara att ''A'' är en öppen delmängd av ''X''.

== Exempel på topologiska rum ==
* Rummet ℝ<sup>3</sup>  där de öppna mängderna är alla mängder som är öppna med avseende på någon [[metriskt rum|metrik]] i ℝ<sup>3</sup>,<br>exempelvis {{nowrap|''d''((''x''₀, ''x''₁, ''x''₂), (''y''₀, ''y''₁, ''y''₂))}} = <math>\scriptstyle{{\sqrt{ (x_0 - y_0)^2 +(x_1 -y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 } }}</math>.
* En mängd ''X'' med den '''triviala topologin''' T = {''Ø'', ''X''}. Detta är den minsta möjliga topologin på ''X''. Med avseende på denna topologi är det endast den tomma mängden, ''Ø'', och mängden ''X'' själv, som är öppna mängder. 
* En mängd ''X'' med den '''diskreta topologin''' ''T'' = 2<sup>''X''</sup>. Mängden 2<sup>''X''</sup> kallas för '''potensmängden''' av ''X'' och består av samtliga delmängder till ''X''. Detta är den största möjliga topologin på ''X''. Med avseende på denna topologi är ''varje'' delmängd av ''X'' en öppen mängd.

== Relaterade definitioner ==
* En delmängd ''A'' av ett topologiskt rum (''X'',&nbsp;''T'') kallas '''sluten''' om dess '''komplementmängd''' {{nowrap|''A<sup>c</sup>'' {{=}} {''x'' ∈ ''X'' : ''x'' ∉ ''A''}}}  är öppen, det vill säga mängden ''A<sup>c</sup>'' är ett element i topologin ''T''.
* En '''kontinuerlig''' [[funktion]] ''f'' : ''X'' → ''Y'' från ett topologiskt rum (''X'',&nbsp;''T'') till ett topologiskt rum (''Y'',&nbsp;''S'') är en funktion som är sådan att mängden <math>f^{-1}(A)=\{x\in X:f(x)\in A\}</math> är ett element i topologin ''T'' för alla val av ''A''∈S. 
**Om ''S'' är den triviala topologin på ''Y'' så är ''varje'' funktion ''{{nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}}'' kontinuerlig.
** Om ''T'' är den diskreta topologin på ''X'' så är ''varje'' funktion {{nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} kontinuerlig.
**Om ''S'' är den diskreta topologin på ''Y'' så är de enda kontinuerliga funktionerna {{nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} de ''lokalt konstanta'' funktionerna. Med andra ord, funktioner sådana att det till varje {{nowrap|''x'' ∈ ''X''}} finns en omgivning ''U'' sådan att ''f'' är konstant på ''U.'' Om ''X'' antas vara sammanhängande sammanfaller dessa med de konstanta funktionerna.
* En '''[[homeomorfi]]''' från ''X'' till ''Y'' är en [[bijektiv funktion|bijektiv]] kontinuerlig funktion sådan att dess [[invers funktion|invers]] också är kontinuerlig.
* En '''topologisk egenskap''', alternativt '''topologisk invariant''', är en egenskap som bevaras under homeomorfier. Exempel på sådana egenskaper är bland annat
** Om rummet är [[sammanhängande rum|sammanhängande]]
** Om rummet är [[kompakthet|kompakt]]
** Rummets [[Eulerkarakteristik]]
** Rummets [[fundamentalgrupp]] upp till isomorfi
** Rummets [[homologi (matematik)|homologigrupp]] upp till isomorfi

== Se även ==
{{Bokversion|Matematik}}
* [[Kategoriteori]]
* [[Knutteori]]
* [[Mängdteori]]
* [[Möbiusband]]
* [[Topologisk grupp]]
* [[Topologisk K-teori]]
* [[Topologiskt vektorrum]]
* [[Tillämpad matematik]]
* {{wiktionary}}

== Referenser ==
<references>
<ref name="Nakahara">{{bokref |efternamn=Nakahara |förnamn=Mikio |författarlänk= |titel=Geometry, topology and physics |origår=1990 |url= |upplaga=2. ed. |år=2003 |utgivare=Taylor & Francis |utgivningsort= |språk=engelska |isbn=978-0-7503-0606-5 |libris=9087103 |sid=81 |citat= }}</ref>
</references>

== Externa länkar ==
* {{Commonscat|Topology}}
{{Rum}}

[[Kategori:Topologi| ]]
[[Kategori:Matematiska strukturer]]