Visa källa för Tensor

[[File:Components stress tensor.svg|mini|[[Cauchys spänningstensor]], en andra ordningens tensor. Tensorns komponenter, bildar i ett tredimensionellt [[kartesiskt koordinatsystem]], matrisen<br/>
<math>\begin{align}
\sigma & = \begin{bmatrix}\mathbf{T}^{(\mathbf{e}_1)} \mathbf{T}^{(\mathbf{e}_2)} \mathbf{T}^{(\mathbf{e}_3)}\\ \end{bmatrix} =\\
& = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{bmatrix}\\
\end{align}</math><br/>
vars kolonner är spänningarna (krafter per areaenhet) som verkar på kubens '''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub> och '''e'''<sub>3</sub> sidor]]

En '''tensor''' (lat. ''tendo,'' "spänna, dra åt, tänja") är ett [[matematiskt objekt]] som är en [[generalisering]] av begreppen [[skalär]], [[vektor]] och [[linjär operator]]. Tensorer är betydelsefulla inom [[differentialgeometri]], [[fysik]] och [[teknik]]. Formalismen utvecklades av [[Gregorio Ricci-Curbastro]] omkring [[1890]] under benämningen [[absolut differentialkalkyl]]. [[Albert Einstein|Einsteins]] [[allmänna relativitetsteori]], utvecklad under [[1910-talet]], formuleras med hjälp av tensor[[notation]], och inom [[kontinuummekanik]]en används exempelvis [[spänningstensorn]]. Tensorer har tillkommit som ett praktiskt verktyg för att beskriva [[dimension|flerdimensionella]] objekt. Med tensorer hanteras sådana objekt mycket enklare än i utskriven komponentform.

==Definition==
Man kan tänka sig att tensorer representerar ett schema av tal och bestämmer hur de individuella elementen skall kombineras vid [[multiplikation]], [[addition]] och dylikt. En tensor sägs ha en '''ordning''' ''n,'' där ''n'' är ett [[Naturliga tal|naturlig]]t [[heltal]] (0, 1, 2, ...) och ordningen anger antalet index ett element identifieras med.

Det finns två sätt att närma sig definitionen av tensorer: det ''klassiska'' (eller ''fysikaliska'') sättet och det ''moderna'' (eller ''matematiska'') sättet.

Det ''klassiska'' eller ''fysikaliska'' sättet att definiera tensorer i form av objekt vars komponenter [[Transformation (matematik)|transformeras]] enligt speciella regler och som även introducerar nya idéer om [[Kovarians och kontravarians (vektorer)|kovarianta och kontravarianta]] transformationer.

Synsättet innebär att tensorer betraktas som multidimensionella [[Fält (datastruktur)|tabeller]] som är ''n''-dimensionella generaliseringar av [[skalär]]er, 1-dimensionella [[vektor]]er och 2-dimensionella [[matris (matematik)|matris]]er. Tensorns "komponenter" är tabellens index.

Betraktelsesättet kan även generaliseras till [[tensorfält]] där elementen i tensorn är [[funktion]]er eller till och med [[differential]]er. Det senare innebär en utvidgning av idéerna kring [[Jacobimatris|jacobianen]], det vill säga att elementen är [[derivata|derivator]] av en viss funktion.

Det ''moderna'' eller ''matematiska'' sättet som innebär att speciella [[vektorrum]] definieras oberoende av koordinatsystem, alltså ''före'' introduktion av [[bas (linjär algebra)|baser]].

Det innebär att tensorer huvudsakligen är [[abstrakt]]a objekt som uttrycks som termer av [[ändlig]]a multilinjära koncept. Tensoregenskaperna, eller "manipulationsreglerna", kan då härledas från definitionerna av [[linjär avbildning|linjära avbildningar]]; en mer generell [[härledning]] baseras på utvidgningar av [[linjär algebra]] till [[multilinjär algebra]].

== Tensorer i fysiken==
Många [[fysikalisk lag|fysikaliska lagar]] är [[proportionalitet (matematik)|proportionalitet]]er. Till exempel medför en [[kraft]] som verkar på en [[kropp (fysik)]] en hastighetsförändring som är proportionell mot kraften:
: <math>\vec F=m\cdot\dot{\vec v}.</math>
Denna [[ekvation]] utsäger också att kraftens riktning även blir [[acceleration]]ens riktning. Samma [[proportionalitetsfaktor]], massan <math>m</math>, dyker också upp i formeln för [[kinetisk energi]]
: <math>E_\mathrm{kin}=\frac12\cdot m\cdot v^2</math>.

Det finns dock sammanhang som inte låter sig beskrivas på detta sätt eftersom deras proportionalitetsfaktorer är beroende på de ingående vektorernas riktningar. Ett exempel är [[Torsion|vridningsrörelse]]: Om ett [[vridmoment]] verkar på en [[rotationshastighet|roterande]] kropp medför det en ändring av kroppens [[vinkelhastighet]], och en fördubbling av vridmomentet medför en fördubbling av denna effekt. Det gäller alltså att
: <math>M=J\cdot\left|\dot{\vec\omega}\right|</math>
med en proportionalitetsfaktor <math>J</math>, som kan vara olika beroende på riktningen av <math>\dot{\vec\omega}</math>. Riktningarna på <math>\vec M</math> och <math>\dot{\vec\omega}</math> behöver inte heller stämma överens. [[Rotationsenergi]]n kan på samma sätt framställas med en riktningsberoende proportionalitetsfaktor <math>J</math> som
: <math>E_\mathrm{rot}=\frac12\cdot J\cdot\omega^2</math>.

Detta riktningsberoende betyder att [[tröghetsmoment]]et <math>J</math> är en ''tensoriell'' [[storhet]], i detta fall en tensor av andra ordningen, tröghetstensorn. "Andra ordningen" innebär i detta fall att ''två'' vektorer är inblandade; i första formeln <math>\vec M</math> och <math>\dot{\vec\omega}</math>, i den andra formeln vektorn <math>\vec\omega</math> två gånger. Tensorer av andra ordningen kan alltså grovt sagt göra nya vektorer av vektorer eller göra tal av vektorpar. Matematiskt motsvarar det en [[linjär avbildning]] respektive en [[bilinjär form]], vilka bägge kan uttryckas med en <math>3\times3</math>-matris. Räknemässigt är en tensor av andra ordningen alltså inget annat än en (kvadratisk) matris, och formlerna ovan får formen
: <math>\vec M=J\cdot\dot{\vec\omega}</math> respektive <math>E_\mathrm{rot}=\frac12\cdot\vec\omega^T\cdot J\cdot\vec\omega</math>
med motsvarande matris <math>J</math>.

== Tensorer som generalisering av skalärer, vektorer och matriser ==
I många tillämpningar, till exempel inom [[elasticitetsteori]] räcker det att tänka sig tensorer som fortsättningen på följden [[skalär]], [[Vektor (matematik)|vektor]], [[Matris (matematik)|matris]]. Då skiljer man på tensorer av olika ”ordning” eller ”rang”.

*En tensor av ''nollte'' ordningen är ett tal, även kallat [[skalär]].
*En tensor av ''första'' ordningen uttrycks som en [[vektor (matematik)|vektor]]. I det ''n''-dimensionella rummet har en sådan tensor precis ''n'' [[koefficient]]er.
*En tensor av ''andra'' ordningen uttrycks med en kvadratisk [[matris (matematik)|matris]], alltså ett talschema i vilken var och en av tensorns ''n''<sup>2</sup> koefficienter betecknas med två [[index (matematik)|index]]. (Exempel: ett kalkylark i ett [[kalkylprogram]]; en tvådimensionell [[pixel]]bild.)
*En tensor av ''tredje'' ordningen kan uttryckas med ett kubiskt schema av sina ''n''<sup>3</sup>  koefficienter, som adresseras med tre index. (Exempel: en mapp med kalkylblad; en videosekvens (pixelbilder med en extra tidskoordinat).)
*En tensor av ''m''-te ordningen har på motsvarande sätt ''n''<sup>''m''</sup> koefficienter, som man håller reda på med ''m'' index.

==Tensorer som indexerade storheter ==
En n-te ordningens tensor är en n-faldigt indexerad storhet <math>T_{i_1,i_2,...,i_n}</math>. Det krävs därvid att det råder ett visst transformationsförhållande. Om sålunda koordinatsystemet vrids med en vridningsmatris <math> a_{i,j} </math>, uttrycks tensorn i de nya koordinaterna som: 
:<math>T'_{i_1,i_2,...,i_n}=\sum_{j_1=1}^3 ... \sum_{j_n=1}^3 a_{i_1,j_1} ... a_{i_n,j_n} T_{j_1,j_2,...,j_n} </math>.

==Tensorer som multilinjärformer ==
Tensorerna <math> T </math> är multilinjära avbildningar till en kropp <math> K </math>:

:<math>T:V_1^{}\times V_2^{}\times\dots\times V_s^{}\to K</math>.

<math> V_1, \dots\ , V_s </math> betecknar här vektorrum över samma kropp <math> K </math> och <math> s </math> betecknar tensorernas ordning. 

Multilinjära avbildningar är tensorer, om vart och ett av vektorrummen <math> V_1, \dots\ , V_s </math> antingen är <math> V^* </math> eller <math> V </math>. 

<math> V </math> är ett godtyckligt vektorrum och  <math> V^* </math> är dess så kallade [[dualt rum|duala vektorrum]]. Ett sådant består av alla linjära avbildningar från vektorrummet <math> V </math> till <math> K </math>, och är självt ett vektorrum över samma kropp. Om <math> V </math> också är av ändlig dimension har dessa samma [[dimension]].

==Tensorordning==
<div>
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="5"
|----- valign="top"
! align="left" bgcolor="#EEEEEE" | Ordning
! align="left" bgcolor="#EEEEEE" | Namn
! align="left" bgcolor="#EEEEEE" | Elementbeteckning
! align="left" bgcolor="#EEEEEE" | Vanlig transformation<sup>*</sup>
|-----
| align="center" | 0 || align="left" | [[Skalär]]
| align="center" | ''a''
| align="left" | ''S'''&nbsp;=&nbsp;|''a''|''S'' |
|-----
| align="center" | 1 || align="left" | [[Vektor]]
| align="center" | ''a<sub>i</sub>''
| align="left" | ''V'<sub>i</sub>''&nbsp;=&nbsp;|''a''|''a<sub>ij</sub>V<sub>j</sub>''
|-----
| align="center" | 2 || align="left" | [[matris (matematik)|Matris]]
| align="center" | ''a<sub>i</sub><sub>j</sub>''
| align="left" | ''M'<sub>ij</sub>''&nbsp;=&nbsp;|''a''|''a<sub>ik</sub>a<sub>jl</sub>M<sub>kl</sub>''
|-----
| align="center" | 3 || align="left" | Tensor av ordning 3
| align="center" | ''a<sub>ijk</sub>''
| align="left" | ''M'<sub>ijk</sub>''&nbsp;=&nbsp;|''a''|''a<sub>il</sub>a<sub>js</sub>a<sub>km</sub>M<sub>lsm</sub>''
|}
<sup>*</sup> |''a''| är [[determinant]]en av koefficient-tabellen ''a<sub>mn</sub>'' eller motsvarande i den givna dimensionen.
<br>''Tabell 1. Tensorer av de tre första ordningarna.''
</div>

Kvantiteter som transformeras enligt kolumn 4 i tabell 1 brukar benämnas '''tensordensiteter'''.

==Se även==
*[[Einsteins summanotation]]
*[[Permutationssymbol]]

== Externa länkar ==
* {{Commonscat|Tensors}}


{{Linjär-algebra|state=collapsed}}

[[Kategori:Tensorer]]
[[Kategori:Matematisk fysik]]