Visa källa för Supremum

Ett '''supremum''' (flertalsform: '''suprema''') till en [[delmängd]] ''A''  av en [[partialordnad mängd]] ''X'', som betecknas sup&nbsp;''A'', är den unika minsta övre begränsningen till ''A'' (om en sådan finns). Supremum kallas ibland även minsta [[majorant]].  Om ''x''&nbsp;=&nbsp;sup&nbsp;''A'' existerar, så kan det tillhöra ''A'', eller inte; ''x''&nbsp;∈&nbsp;''A'' om och endast om ''x'' är det [[största element]]et i ''A''.

På motsvarande sätt kallas en ''största undre begränsning'' till ''A'' mängdens [[infimum]].

Teorin för suprema och infima är grundläggande för teorin för reella tal i allmänhet, och för reell analys i synnerhet. Begreppen är också mycket viktiga inom [[Partiellt ordnad mängd|ordningsteori]] i allmänhet, bland annat i teorin för [[gitter (ordning)|gitter]].

== Formell definition ==
Formellt kan man för en mängd ''X'' med [[partialordning]]en <math>\leqslant</math> och en delmängd <math>A\subseteq X</math> definiera supremum som följer.

Låt <math>M_A := \{x\in X : \forall a\in A : a\leqslant x\}</math>. Då gäller
:<math>x_0 = \sup A \iff x_0\in M_A \land (\forall x\in M_A : x_0\leqslant x) \iff x_0 = \min M_A</math>
(där det minsta elementet min&nbsp;''M<sub>A</sub>'' existerar precis då supremum av ''A'' gör det).


== Suprema för delmängder av R ==
'''Supremum''' till en [[mängd]] av [[reella tal]] är mängdens minsta övre begränsning. Supremum för en mängd av reella tal tillhör mängden eller är åtminstone ett [[gränsvärde]] av en talföljd i mängden.<ref>Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis, Volume I, Springer-Verlag, New York 1965.</ref> Supremum för en mängd ''A'', betecknas med sup&nbsp;''A'' och kan definieras som det minsta reella tal, som är större än eller lika med varje tal i ''A''.

Satsen: ''Varje icke-tom mängd av reella tal som har en övre begränsning, har en minsta övre begränsning'', kallas för ''fullständighetsaxiomet'' och är ett av de [[axiom]] som ingår i konstruktionen av de reella talen.<ref>H.L. Royden, Real Analysis, The MacMillan Company, Collier-MacMillan Limited, Princeton 1963.</ref> 

En vanlig generalisering av supremum till godtyckliga delmängder av <math>\mathbb R</math> ges av att man låter 
<math>\sup\varnothing = -\infty</math>, där <math>\varnothing</math> är den [[tomma mängden]] och   <math>\sup U = \infty</math> om <math>U</math>  inte är uppåt begränsad.

Varje icketom nedåt begränsad mängd av reella tal har på motsvarande sätt även en ''största undre begränsning'', som kallas mängdens [[infimum]].

=== Supremumegenskapen ===
Man säger att en [[ordnad mängd]] <math> S </math> har supremumegenskapen om varje [[icke-tom]] [[uppåt begränsad]] [[delmängd]] till <math> S </math> har ett supremum (som också ligger i <math>S</math>).

De [[naturliga tal]]en (<math>\mathbb N</math>) och de [[reella tal]]en (<math>\mathbb R</math>) har supremumegenskapen. En mängd som '''inte''' har supremumegenskapen är de [[rationella tal]]en (<math>\mathbb Q </math>). Ett exempel på en delmängd i <math> \mathbb{Q} </math> som inte har ett supremum är:

:<math> A = \{x \in \mathbb{Q}: x^2<2\} </math>

Dvs, alla tal vars kvadrat är mindre än 2. Att hitta ett rationellt supremum till den här mängden är omöjligt. Det är lätt att hitta en övre gräns; vilket positivt tal som helst, vars kvadrat är större än 2, går bra. Säg nu att man väljer ett rationellt tal som är en övre gräns. Då kan det omöjligtvis vara den ''minsta'' översta gränsen, då <math>\sqrt{2}</math> är ett [[irrationellt tal]]. Man kan då, oberoende av vilket rationellt tal man valt som övre gräns, alltid hitta ett mindre rationellt tal som också är övre gräns. Detta kan visas mer strikt genom att man antar att man har en godtycklig övre gräns för <math> A </math>, kallad <math> p </math> och <math> p^2 > 2 </math>. Då är även följande <math>q</math> en övre gräns till <math> A </math>:

:<math> q = \frac{2p+2}{p+2}</math>
:<math>q<p \Leftrightarrow \frac{2p+2}{p+2}-p<0 \Leftrightarrow \frac{2p+2 - p(p+2)}{p+2}<0 \Leftrightarrow \frac{2-p^2}{p+2}<0</math>

Vilket är sant då <math> p^2 > 2 </math>. För att se att <math> q </math> är en övre gräns:

:<math>q^2 - 2 = \left(\frac{2p+2}{p+2}\right)^2 - 2 = \frac{4p^2 + 8p + 4-2p^2-8p-8}{(p+2)^2}=\frac{2p^2-4}{(p+2)^2}>0</math>

Då <math> p^2 > 2 </math> är <math> 2p^2 - 4 > 2*2-4 = 0 </math>. Alltså är <math> q </math> en övre gräns till <math> A </math> som är mindre än <math> p </math>.

== Suprema i gitter ==
Ett [[gitter (ordning)|gitter]] ''X'' är en partialordnad mängd där delmängden {''x'',''y''} har både ett supremum och ett infimum, för alla ''x,y''&nbsp;∈&nbsp;''X''. Ofta används beteckningarna ''x''&nbsp;∨&nbsp;''y'' respektive ''x''&nbsp;∧&nbsp;''y'' och de engelska namnen ''join'' respektive ''meet'' för sup&nbsp;{''x'',''y''} respektive inf&nbsp;{''x'',''y''}. Gittret är komplett om dess samtliga delmänger har suprema och infima.

== Källor ==
* Eike Petermann, Analytiska metoder, Studentlitteratur, Lund 1987.
* Hyltén-Cavallius, Sandgren, Matematisk Analys I, Håkan Ohlssons boktryckeri, Lund 1962.
* Walter Rudin, ''Principles of Mathematical Analysis, Third Edition'', McGraw-Hill, 1976.

== Referenser ==
<references/>

[[Kategori:Matematisk analys]]
[[Kategori:Ordningsteori]]