Visa källa för Speciella relativitetsteorin

[[Bild:Einstein patentoffice.jpg|miniatyr|[[Albert Einstein]] omkring 1905, året för hans ''Annus Mirabilis'' publiceringar&nbsp;– vilka inkluderade ''Zur Elektrodynamik bewegter Körper''.]]
Den '''speciella relativitetsteorin''' är en [[fysik]]alisk teori publicerad<ref name = einde>{{Tidningsref |författare = Einstein|förnamn = Albert |titel = Zur Elektrodynamik bewegter Körper|tidning = [[Annalen der Physik]]|volym = |nummer = |sidor = |datum = 1905|utgivare = |url = http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/einstein-papers/1905_17_891-921.pdf|format = PDF, tyska|id = |hämtdatum =}}</ref><ref name = einen>{{Tidningsref |författare = Einstein|förnamn = Albert |titel = On the Electrodynamics of Moving Bodies|tidning = [[Annalen der Physik]]|volym = |nummer = |sidor = |datum = 1905|utgivare = |url = http://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/specrel/specrel.pdf|format = PDF, engelsk översättning|id = |hämtdatum =}}</ref> [[1905]] av [[Albert Einstein]]. Den beskriver ''[[Rum (fysik)|rummets]] och [[tid]]ens egenskaper'' när man kan bortse från tyngdkraftens – [[gravitation]]ens – inverkan. En mycket omtalad ekvation som utgör en hörnsten i teorin är [[E = mc²]], där E är [[energi]], m är [[massa]] och c² [[ljushastigheten i vakuum]] i kvadrat.

Einsteins speciella relativitetsteori kom att ersätta de föreställningar om rum och tid som finns i [[Newtonsk mekanik|Newtons fysik]], samtidigt som den beskrev [[elektromagnetism]]en på samma sätt som [[James Clerk Maxwell|Maxwell]]s [[Maxwells elektromagnetiska ekvationer|elektromagnetiska ekvationer]]. Anledningen till att den kallas ''speciell'' (även kallad "särskild" i skolböcker) är ''inte'' att den är mer omfattande eller svårförståelig än den ''[[allmänna relativitetsteorin]]'', som Einstein kom att lägga fram tio år senare, utan att den begränsar sig till att "endast" beskriva förhållanden i så kallade [[inertialsystem]], där ''[[gravitation]]en'' kan lämnas utanför. I den allmänna relativitetsteorin som Einstein förevisade år 1915, utvidgade han teorin, så att den kom att omfatta även gravitationen.

Enligt den speciella relativitetsteorin bildar ''rummet'' (med de tre dimensionerna djup, höjd och bredd) och ''tiden'' tillsammans ett 4-dimensionellt system, den så kallade [[rumtid]]en, där mätningar av tid och avstånd beror av observatörens rörelse. Det finns inga ''absoluta'' rörelser eller tidsförlopp, utan dessa är ''relativa'' och ett föremåls hastighet kan bara anges i förhållande till andra föremål. Teorin anger också att det finns en högsta hastighet, nämligen [[ljusets hastighet]] i [[vakuum]] och att denna hastighet är ''konstant'' och lika för alla observatörer. De fysikaliska lagarna är desamma för alla observatörer. Föremål som rör sig i förhållande till observatören förkortas i rörelseriktningen (enligt observatörens mätningar i denna riktning, någon lokal kontraktion av objektet förekommer ej) och klockor i rörelse går långsammare än klockor i vila. Teorin anger också att [[massa]] är en form av [[energi]].

== Bakgrund och motivering till den speciella relativitetsteorin ==
Redan innan den speciella relativitetsteorin formulerades, hade bland annat [[Hendrik Lorentz]] och [[George Francis FitzGerald]] observerat att elektromagnetiska krafter varierar beroende på hur de observeras. Exempelvis beror det [[magnetiska fält]]et på observatörens rörelsetillstånd. En observatör i vila i förhållande till det elektromagnetiska fältet uppfattar inget magnetiskt fält och endast en observatör i relativ rörelse kan registrera ett magnetiskt fält. FitzGerald, Lorentz och [[Woldemar Voigt]] föreslog oberoende av varandra ([[1892]], [[1895]] respektive [[1887]]) teorier innebärande att objekt som rör sig i förhållande till en stationär observatör genomgår en fysisk förkortning, så kallad [[längdkontraktion]] (''Lorentzkontraktion'' eller ''Lorentz-FitzGerald-kontraktion''). Lorentz inkorporerade i sin teori också idén att tiden gick långsammare, så kallad [[tidsdilatation]], för det rörliga objektet och konstruerade formler som beskrev denna, den så kallade [[Lorentztransformation]]en utan att känna till Voigts arbeten. Han tänkte sig att universum genomsyrades av en osynlig [[Eter (fysik)|eter]] och att rörelse genom detta medium påverkade kropparna. Dessa teorier tycktes lösa den konflikt som uppstått mellan elektromagnetism och klassisk Newtonsk fysik genom att Lorentz formler sammanföll med Newtons rörelselagar vid hastigheter som var små i förhållande till ljusets hastighet. ''Lorentz eter-teori'' blev dock kritiserad (även av honom själv) för sin delvis godtyckliga natur.

Även om det var Voigt som först formulerade de [[Woldemar Voigt#Voigttransformationen|grundläggande sambanden]], lyckades Einstein härleda Lorentz variant av dessa ur en mer grundläggande teori. Han utgick från att fysikens lagar borde vara lika – [[invariant]]a – för alla observatörer, och härledde bland annat Lorentztransformationen som en konsekvens.

Den speciella relativitetsteorin beskriver vanligtvis observatörer och kroppar som befinner sig i vila, eller rör sig med konstant hastighet, i förhållande till varandra. En vanlig missuppfattning är att teorin inte hanterar fall då rörelsen är accelererande. Den speciella relativitetsteorin kan dock på ett korrekt sätt beskriva hur accelererande kroppar beter sig i ett konstant gravitationsfält eller i roterande referenssystem. Exempel på detta är [[tvillingparadoxen]] eller när en raket accelererar till höga hastigheter. Den speciella relativitetsteorin kan däremot inte beskriva rörelser i varierande gravitationsfält.

== Den speciella relativitetsteorins status ==
Speciella relativitetsteorin är numera universellt accepterad av det vetenskapliga samfundet. Den är experimentellt mycket väl bekräftad<ref>[http://www.edu-observatory.org/physics-faq/Relativity/SR/experiments.html Experimental basis of SR] översikt av Tom Roberts (2007).</ref> och inga avvikelser från de resultat teorin förutsäger har observerats. Det har dock funnits och finns än i dag forskare som har föreslagit alternativ. En sådan alternativ teori är den [[dubbelt speciella relativitetsteorin]], där inte bara ljusets hastighet är konstant utan även en viss (mycket liten) längd uppfattas lika av alla observatörer.

== Einsteins postulat ==
Albert Einsteins två postulat ligger till grund för speciell relativitetsteori.

=== Ljushastighetens konstans ===
* Den speciella relativitetsteorin [[Postulat|postulerar]] att [[ljusets hastighet]] i [[vakuum]] är konstant lika med <math>c</math> för alla observatörer i likformig relativ rörelse. 

Även om två observatörer rör sig relativt varandra kommer båda att hålla hastigheten <math>c</math> relativt ljus i vakuum. Notera att ljusets hastighet i ett medium är lägre än i vakuum.

=== Avsaknad av ett absolut referenssystem ===
* Alla system, där observatörer rör sig med konstant hastighet, [[inertialsystem]], är likvärdiga och därför måste fysikens lagar ge samma resultat för dem alla.

Den speciella relativitetsteorin avvisar föreställningen om att det existerar ett överordnat referenssystem för mätning av tid och rum. Postulatet kan ses redan hos [[Galileo Galilei|Galilei]], och är en del av den [[Klassisk mekanik|Newtonska fysiken]]. Men i slutet av [[1800-talet]] förespråkades idén att universum är fylld av osynlig substans, den så kallade [[Eter (fysik)|etern]], genom vilken [[elektromagnetisk strålning|elektromagnetiska vågor]] fortplantade sig likt ljudvågor genom luften. Etern utgjorde ett absolut referenssystem mot vilket rörelse och hastigheter kunde mätas, och samtidigt som vågrörelser i den kunde växelverka med materia, antogs den inte bjuda något motstånd mot föremål som passerar genom den. Olika tester som kulminerade med [[Michelson–Morleys experiment]] år [[1887]], visade att antingen stod [[jorden]] stilla, eller så måste föreställningen om etern och ett absolut referenssystem överges.

== Inertialsystem och Lorentztransformationen ==

=== Inertialsystem ===
Ett '''inertialsystem'''  är [[koordinatsystem]] där [[Newtons rörelselagar|Newtons första lag]], [[tröghetslagen]], gäller. Det betyder att krafter och accelerationer som eventuellt uppträder i beräkningar måste behandlas för sig. Alla inertialsystem är ekvivalenta och mekanikens lagar gäller i samtliga. Begreppet ''inertialsystem'' användes första gången av [[Ludwig Lange (fysiker)|Ludwig Lange]][[1885]].
[[Fil:Frames of reference in relative motion.svg|miniatyr|300px|Inertialsystemet med primmade koordinater rör sig med hastighet <math>v</math> längs den positiva <math>x</math>-axeln. Sett från det systemet kommer det oprimmade inertialsystemet att röra sig med hastigheten <math>-v</math> längs <math>x'</math>-axeln.]]
Inertialsystem spelar en avgörande roll i relativitetsteorin. Termen inertialsystem som används här är ett system i rummet som inte är accelererat, från vilken en position kan mätas längs 3 rumsdimensioner. Dessutom kan ett inertialsystem mäta tiden för en händelse med hjälp av en ”klocka” som kan vara vilken som helst om den har definierad referensriktning och med enhetlig periodicitet.

En [[Rumtid|händelse]] är en förekomst som kan tilldelas en enda unik tid och plats i rummet relativt ett inertialsystem: det är en "punkt" i den så kallade [[rumtid]]en. Eftersom [[ljusets hastighet]] är konstant i alla inertialsystem kan ljuspulser användas för att entydigt mäta avstånd och således definiera den tid (sträcka/hastighet) som händelserna inträffade. Position och tid för en händelse fås alltså genom att man avläser den närmaste längdmarkering och klocka i inertialsystemet.

Exempelvis kan explosionen av ett fyrverkeri vara en "händelse". Vi kan fullständigt beskriva händelsen med sina fyra rumtidskoordinater: tidpunkten för förekomsten och dess tredimensionella position i rummet definierar en referenspunkt. Låt oss kalla det inertialsystemet <math>S</math>.

Inom relativitetsteorin vill vi ofta kunna växla mellan att beskriva positionen för en punkt i ett specifikt inertialsystem till ett annat. Eftersom det inte finns något absolut inertialsystem inom relativitetsteori är begreppet "rörelse" inte strikt, eftersom allt alltid rör sig med avseende på något annat inertialsystem. Antag att vi har ett andra inertialsystem  <math>S'</math>, vars rumskoordinater och klocka exakt sammanfaller med  <math>S</math> vid tiden noll, men som rör sig med konstant hastighet  <math>v</math> med relativt <math>S</math>:s  <math>x</math>-axel som i figuren till höger, systemen sägs vara i ''Standardkonfiguration''.

=== Lorentztransformationen ===
[[Bild:Tidsdilatation.svg|miniatyr|stående=1.2|Lorentzfaktorn<math>\ \gamma</math> som funktion av <math> \ v</math>.]]
{{Main|Lorentztransformation}}

Lorentztransformationen relaterar rumtidskoordinaterna i två olika inertialsystem <math>S</math> och <math>S'</math>, som rör sig i förhållande till varandra. Antag att <math>S'</math> rör sig med [[hastighet]]en <math>v</math> längs <math>x</math>-axeln och att en [[Händelse (rumtid)|händelse]] äger rum vid [[tid]]en <math>t</math> och koordinaterna <math>(x, y, z)</math> i systemet <math>S</math> och vid <math>t'</math> och <math>(x', y', z')</math> i systemet <math>S'</math>. Då ges <math>t'</math> och <math>(x', y', z')</math> enligt Lorentztransformationen av<ref>Nordling, C. & Österman, J. (2006). ''Physics Handbook for Science and Engineering.'' (sid. 179). Lund: Studentlitteratur.</ref>

: <math>t' = \gamma \cdot \left(t - \frac{v x}{c^{2}} \right)</math>
: <math>x' = \gamma \cdot (x - v t) </math>
: <math>y' = y </math>
: <math>z' = z </math>
där <math>c</math> är ljushastigheten i vakuum och
: <math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}</math> 
är [[Lorentzfaktorn]], som alltid är större än eller lika med 1. Om <math>v>c</math> blir Lorentzfaktorn imaginär, vilket skulle ge imaginära värden för <math>t'</math> och <math>x'</math>. Det enda rimliga är då att ingenting kan ha en hastighet högre än ljusets hastighet, <math>c</math>.  

Koordinaterna i <math>S</math> fås genom att inse att <math>S</math> håller hastigheten <math>-v</math> relativt <math>x'</math>-axeln i inertialsystemet <math>S'</math>.
: <math>t = \gamma \cdot \left(t' + \frac{v x'}{c^{2}} \right)</math>
: <math>x = \gamma \cdot (x' + v t') </math>
: <math>y = y' </math>
: <math>z = z' </math>

Hastighets- och accelerationssambanden mellan S och S' presenteras i Lorentztransformationens huvudartikel.

== Konsekvenser från Lorentztransformationen ==
Speciella relativitetsteorins postulat om konstant ljushastighet och avsaknad av absoluta referenssystem har flera konsekvenser som intuitivt kan uppfattas som bisarra. 

=== Samtidighet ===
{{Main|Samtidighet}}
Två händelser som tycks ske samtidigt (men på olika platser) ur en observatörs synpunkt, kan uppfattas ske vid olika tidpunkter och i godtycklig ordning av andra observatörer som är i rörelse relativt den första observatören.
=== Tidsdilatation ===
{{Main|Tidsdilatation}}
Tidsskillnaden mellan två händelser är inte något objektivt, utan beror på observatörers rörelse i förhållande till varandra. En observatör O mäter tiden till att gå snabbare med en faktor <math>\gamma</math> i sitt eget inertialsystem, jämfört med vad O mäter tiden till att gå för en observatör O' som rör sig med en hastighet <math>v</math> relativt O. Om O mäter ett tidsintervall i inertialsystemet där O' är stationär till att vara <math>\Delta t_0</math>, mäter O tidsintervallet i sitt eget inertialsystem till att vara
: <math>\Delta t = \gamma \Delta t_0 = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}</math>.
Det omvända gäller också, alltså ser O' det som att dess tid går snabbare med en faktor <math>\gamma</math>  än vad tiden går för O. Detta har gett upphov till [[tvillingparadoxen]], där misstaget begås att blanda ihop [[inertialsystem]] med referenssystem.

=== Längdkontraktion ===
{{Main|Längdkontraktion}}
Ett föremåls observerade storlek beror på observatörens relativa hastighet. Om en stav med längd L rör sig med hastigheten <math>v</math> relativt en observatör, kommer staven att uppfattas som kortare i dess färdriktning med en faktor <math>\gamma</math> enligt observatören. Om staven har längden <math>L_0</math> i vila är stavens längd enligt observatören
: <math>L = \frac{L_0}{\gamma} = L_0 \sqrt{1-v^2/c^2}</math>.

Observera att längdkontraktionen är symmetrisk och uppfattas på samma sätt från båda observatörernas håll. Om de båda observatörerna har varsin stav, kommer båda två att tycka att den andra observatörens stav är kortare än den egna.

Dessa fenomen uppfattas inte vid vardagliga hastigheter utan blir väsentliga först vid hastigheter av ungefär 10% av ljusets hastighet i vakuum. Ekvationerna ger till exempel att ett föremål som färdas i 90% av ljusets hastighet är endast 44% av sin längd i rörelseriktningen, jämfört med när föremålet är i vila. Tidsdilatationen har observerats experimentellt, till exempel hos [[myon]]er i [[kosmisk strålning]] som har för kort livslängd för att kunna nå jordytan om inte tidsdilatationen existerade.

== Rumtidens geometri ==
Den speciella relativitetsteorin använder ett 'platt' 4-dimensionellt så kallat [[Minkowskirum]], normalt kallat [[rumtid]]en. Denna rymd är tämligen likt ett 3-dimensionellt [[Euklidiskt rum]], vilket gör det relativt åskådligt.

Avståndsdifferentialen, ''<math>dr</math>'', i ett 3-dimensionellt [[linjärt rum]] definieras som
:<math>dr^2=dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2</math>
där <math>dx_1, dx_2</math> och <math>dx_3</math> är differentialerna i respektive dimension. Inom [[klassisk fysik]] är avståndet ''<math>dr</math>'' samma vid byte av inertialsystem enligt [[Galileitransformation]]en. Detta gäller dock inte inom speciell relativitetsteori där [[Lorentztransformation]]en används istället, i Minkowskirummet är istället intervallsdifferentialen ''<math>ds</math>'' bevarad vid Lorentztransformationen enligt
:<math>ds^2=c^2dt^2 - dx_1^2 - dx_2^2 - dx_3^2</math>.

Här läggs tiden till som en fjärde dimension, som oftast tas som den nollte dimensionen. Enligt konvention väljs att sätta minustecken framför rumskoordinaterna och plustecken framför tiden. Det omvända förekommer också, framförallt i den [[allmänna relativitetsteorin]].

För att lättare kunna åskådliggöra rumtiden i 3 dimensioner kan man ta bort en av rumsdimensionerna, så att man har två rumsdimensioner och en tidsdimension:
:<math>ds^2=c^2dt^2 - dx_1^2 - dx_2^2</math>.

Ett föremål som rör sig med konstant hastighet genom rymden kan beskrivas som en [[rät linje]] genom rumtiden. Andra typer av rörelser ger andra typer av kurvor. En sådan kurva brukar kallas föremålets [[världslinje]] (eng. World line).

Ljusstrålar som anländer till eller utgår från en given punkt vid en given tid kan åskådliggöras med en dubbelkon kring punktens rumtid-koordinat – en så kallad ''ljuskon'' som beskrivs av ekvationen
:<math>ds^2=0=c^2dt^2 - dx_1^2 - dx_2^2</math>  eller <math>dx_1^2+dx_2^2=c^2dt^2</math>

[[Bild:Lightcone-1.png|miniatyr|300px|Ljuskon – (den 3-dimensionella) ytan av alla möjliga ljusstrålar som går till eller ifrån en punkt i rumtiden, här reducerat till 2 dimensioner.]]

Ofta brukar man anpassa enheterna så att <math>c=1</math> och ljuskonen bildar en 45-graders vinkel så som på bilden till höger.

Denna dubbelkon delar in rumtiden i tre områden.
# Punkter i området innanför den övre konen, till exempel B, representerar ''framtiden'' för den ursprungliga händelsen, och punkter innanför den undre konen representerar ''det förflutna''. Kurvor som förbinder observatören i A med punkter inom konerna kallas ''tidslika'' och representerar världslinjer för föremål som rör sig med hastigheter lägre än ljusets. Det är hypotetiskt möjligt för materia att förflytta sig från A till B. Om händelsen A inträffar före B, så gör den det i alla inertialsystem.
# Punkter på konerna representerar ''nuet'' och utgörs av händelser som kan nås av ljus. Världslinjer på denna yta kallas ''ljuslika'' och representerar ljusstrålar eller partiklar som hela tiden rör sig med ljusets hastighet. När vi observerar stjärnhimlen är det i princip denna del av rumtiden vi ser.
# Punkter utanför konerna, till exempel C, representerar händelser som inte är observerbara. Kurvor som förbinder observatören i A med den givna punkten C kallas ''rumslika'' och kan representera rumsdimensioner så som längd och bredd, snarare än vara världslinjer för ett föremål. Det är inte möjligt för materia eller ljus (eller information) att förflytta sig från A till C. Eftersom ingenting kan överföras från A till C, så kan det inte finnas någon orsakspåverkan mellan dem. Dessutom kan händelsen A inträffa före C i vissa inertialsystem, ske samtidigt i andra, och inträffa efter C i ytterligare andra.
{{clear|right}}

== Massa, rörelsemängd och energi ==
För att lagen om [[energiprincipen|energins bevarande]] ska hålla vid höga hastigheter, krävs en [[generalisering]] av formlerna för [[rörelseenergi]] och [[rörelsemängd]] som används i den klassiska fysiken. För ett föremål med massan ''<math>m</math>'' som rör sig med hastigheten ''<math>\mathbf{v}</math>'' ges totalenergin ''<math>E</math>'', rörelseenergin <math>T</math> och rörelsemängden ''<math>\mathbf{p}</math>'' av

:<math>E = \gamma m c^2,</math> 
:<math>T = E-mc^2 = (\gamma-1) m c^2</math> 
respektive
:<math>\mathbf{p} = \gamma m \mathbf{v}</math>
där [[Lorentzfaktorn]] <math>\gamma</math> ges av
: <math> \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - {v^2/c^2}}}</math>
där ''<math>v</math>'' är föremålets [[fart]] och ''<math>c</math>'' är [[ljusets hastighet]]. Lorentzfaktorn erhålls ur ekvationerna i [[Lorentztransformation|Lorentz-]] eller [[Woldemar Voigt#Voigttransformationen|Voigttransformationen]].

I avsnittet ''Exempel på 4-vektorer och Lorentzprodukter'' nedan framgår att relationen mellan totalenergin och rörelsemängden ges av formeln

:<math>E^2 = (\mathbf{p} c)^2 + (m c^2)^2</math>.

Om ''<math>v</math>'' är mycket liten i förhållande till ''<math>c</math>'' fås genom [[Taylorutveckling]] av <math>\gamma</math> i formlerna för <math>T</math> och ''<math>\mathbf{p}</math>'' att
: <math>T \approx \frac{1}{2}m v^2</math> 
och
: <math> \mathbf{p} \approx m \mathbf{v}</math>
vilket överensstämmer med de klassiska formlerna.

För ett föremål i vila (''<math>v = 0</math>'' och därmed ''<math>\gamma = 1</math>''), ger ovanstående formel för energi inte energivärdet noll, utan den reduceras till den berömda formeln
:<math>E_\mathrm{vila} = m c^2</math>.
Det vill säga att även när ett föremål med massa är i vila så återstår ändå en viss mängd energi. Formeln visar att massa, ur relativistisk synvinkel, är proportionell mot eller ''ekvivalent med energi''. Detta demonstreras tydligt av att stora mängder energi – om än svarande mot obetydlig massa – kan frigöras vid [[kärnreaktion]]er.

När ''<math>v</math>'' närmar sig ''<math>c</math>'', går nämnaren i <math>\gamma</math>mot noll och därmed går energin mot oändligheten. Det vill säga att när ett föremåls hastighet närmar sig ljusets, går den energimängd som behövts för att accelerera det mot oändligheten, vilket gör det omöjligt för föremål med massa att nå ljusets hastighet. Endast partiklar som saknar massa, såsom [[foton]]er, kan nå ljushastigheten. Partiklar som saknar massa kan heller inte röra sig långsammare än med ljusfart, utan de måste i alla inertialsystem röra sig med ljusets hastighet. Namnet [[tachyon]]er har använts för hypotetiska partiklar som skulle kunna röra sig fortare än ljuset, men hittills har existensen av sådana partiklar inte kunnat påvisas experimentellt och därmed motbevisa speciell relativitetsteori.

===Vilomassa och relativistisk massa===
Det sägs ibland inom den speciella relativitetsteorin att ett föremåls [[massa]] ökar, när hastigheten ökar. Emellertid används då två olika definitioner av begreppet massa. I formlerna ovan står ''<math>m</math>'' för föremålets ''vilomassa'', vilken förblir konstant och är lika i alla inertialsystem. Ett annat begrepp är föremålets ''relativistiska massa'' ''<math>M</math>'' som ges av
:<math>M = \gamma m</math>
där <math>\gamma</math> är samma Lorentzfaktor som i formlerna för energi och rörelsemängd. Eftersom <math>\gamma</math> ökar med hastigheten, gör också den relativistiska massan det. Om hastigheten är noll är <math>\gamma = 1</math> och den relativistiska massan lika med vilomassan.

Man kan skriva
:<math> E = \gamma m c^2 = M c^2,</math> 

:<math>(M c^2)^2  = (\mathbf{p} c)^2 + (m c^2)^2</math>
och 
:<math>\mathbf{p} = M \mathbf{v}</math>.

== Rumtid med 4-dimensionell notation ==
=== Lorentztransformation med 4-vektorer ===
{{Main|Kovarians och kontravarians (vektorer)}}
Den 4-dimensionella rumtiden beskrivs bäst genom att använda 4-dimensionella vektorer. Det finns två typer av 4-vektorer, [[Kontravariant vektor|kontravarianta]] vektorer med index uppe och [[Kovariant vektor|kovarianta]] vektorer med index nere. En allmän kontravariant 4-vektor 

: <math>V^{\mu} = (v^0, v^1, v^2, v^3)</math>, 

som specificeras med indexen <math>\mu = 0,1,2,3</math>, transformerar till en annan kontravariant 4-vektor 

: <math>V'^{\mu}=(v'^0, v'^1, v'^2, v'^3)</math>, 

genom Lorentztransformation. Om <math>    V   </math> tillhör ett referenssystem <math>    S   </math> och <math>    V'   </math> tillhör ett referenssystem <math>    S'   </math> där de två referenssystemen är i så kallad standardkonfiguration (figuren ovan i ''Inertialsystem'') så kan transformationen skrivas på matrisform enligt 

:<math>    \begin{bmatrix}
    v'^0 \\ v'^1 \\ v'^2 \\ v'^3
 \end{bmatrix}
 =
\begin{bmatrix}
    \gamma & -\gamma v/c & 0 & 0  \\
    - \gamma v/c & \gamma  & 0 & 0  \\
    0  & 0 & 1 & 0  \\
    0  & 0 & 0 & 1  \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    v^0 \\ v^1 \\ v^2 \\ v^3
\end{bmatrix} .   </math>

I komponentform kan en allmän Lorentztransformation skrivas mer kompakt som

: <math> V'^{\mu} = \sum_{\nu=0}^3\Lambda^{\mu}_{\;\;\nu} V^{\nu}  </math>

där symbolerna <math>\Lambda^{\mu}_{\;\;\nu}</math> utgör elementen i <math>\Lambda</math>, som är Lorentztransformen på matrisform. Här är <math>\nu</math> ett exempel på ett ''summationsindex''. Det uppträder på två ställen på samma sida av en sådan transformationslikhet. Man kan lika väl ge det ett annat namn, till exempel <math>\sigma</math>. När man ser samma index uppe och nere, vet man att det ska summeras över dem. Man kan därför helt utelämna summationstecknet och skriva transformationen ännu mer kompakt som 

: <math>V'^{\mu} = \Lambda^{\mu}_{\;\;\nu} V^{\nu} .</math> 

Detta kallas [[Einsteins summakonvention]] och förenklar i hög grad alla matematiska uttryck som används i relativitetsteorin. 

Om en vektor med fyra komponenter transformerar som

: <math> V'^{\mu} = \Lambda^{\mu}_{\;\;\nu} V^{\nu} </math>

under en Lorentztransformation, så är de en kontravariant 4-vektor. Införs den inversa Lorentztransformationen  ''<math>\Lambda^{-1}</math>'', som tillfredsställer

: <math>\Lambda^{-1} \Lambda = \Lambda \Lambda^{-1} =I,</math>

där ''<math>I</math>'' är en 4&times;4 [[enhetsmatris]], så gäller på komponentform

: <math> V^{\mu} = (\Lambda^{-1})^{\mu}_{\;\;\nu} V'^{\nu}. </math>

Den inversa transformationen <math> (\Lambda^{-1})^{\mu}_{\;\;\nu} </math> har matriselement som tillfredsställer

:  <math>  (\Lambda^{-1})^\mu_{\;\;\sigma}\Lambda^{\sigma}_{\;\;\nu}  = \delta^\mu_{\;\;\nu} </math>

där <math> \delta^\mu_{\;\;\nu} </math> är [[Kroneckers delta]], som definierar komponenterna i en 4&times;4 [[enhetsmatris]].

=== Minkowski-metriken ===
Geometrin i rumtiden beskrivs av ''Minkowskimetriken'' (se mer på [[:en:Minkowski space#Minkowski metric|Minkowskimetriken]] )<blockquote><math>\eta_{\mu\nu} =
\begin{cases}
    1, ~~ \mu=\nu=0\\
    -1, ~~ \mu=\nu=1,2,3\\
    0, ~~ \mu\neq\nu
\end{cases}
\qquad\iff\qquad
\eta =
\begin{bmatrix}
    1 & 0 & 0 & 0\\
    0 & -1 & 0 & 0\\
    0 & 0 & -1 & 0\\
    0 & 0 & 0 & -1
\end{bmatrix}.</math></blockquote>Detta ger att intervallet kan skrivas med indexnotation enligt <math> ds^2 = \eta_{\mu\nu} x^\mu x^\nu. </math> (Jämför vanlig rumtid där ett avstånd beskrivs av <math> dr^2 = \delta_{ij} x^i x^j. </math>) Då <math> ds^2 </math> är Lorentzinvariant så följer att även <math> \eta </math> är Lorentzinvariant, det vill säga <math> \eta' = \eta. </math> Alltså<blockquote><math>ds'^2 = \eta_{\mu\nu}' x^{\prime\mu} x^{\prime\nu} = \eta_{\mu\nu}' \Lambda^\mu_\sigma \Lambda^\nu_\rho x^\sigma x^\rho
\;\overset{!}{=}\; ds^2 = \eta_{\rho\sigma} x^\rho x^\sigma.</math></blockquote>Eftersom detta uttryck skall gälla för alla <math>x</math>så följer att<blockquote><math>\implies \eta_{\mu\nu}' = \left(\Lambda^{-1}\right)_\mu^\sigma \left(\Lambda^{-1}\right)_\nu^\rho \eta_{\sigma\rho}.</math></blockquote>Uttrycket ovan visar också hur kovarianta tensorer (vilket inkluderar vektorer) transformeras. Det gäller även att <math> \eta_{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}. </math> Av invariansen följer att index kan ''höjas'' eller ''sänkas'' enligt<blockquote><math> x_\mu = \eta_{\mu\nu} x^\nu
\qquad \implies \qquad
\begin{bmatrix}
    x_0\\ x_1\\ x_2 \\ x_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
    1 & 0 & 0 & 0\\
    0 & -1 & 0 & 0\\
    0 & 0 & -1 & 0\\
    0 & 0 & 0 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    x^0\\ x^1\\ x^2\\ x^3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
    x^0\\ -x^1\\ -x^2\\ -x^3
\end{bmatrix}. </math></blockquote>

=== Lorentzprodukt ===
Uttrycket <math>A^{\mu} B_{\nu} = \eta _{\mu \nu} A ^{\mu} B^{\nu}</math> är en så kallad ''Lorentzprodukt''  där <math>A^{\mu}</math> och <math>B^{\mu}</math> är två 4-vektorer. Lorentzprodukten är en [[skalär]] som är ''Lorentzinvariant'', det vill säga att den har samma värde i alla inertialsystem. Om <math>A^{\mu} = (a^0,a^1,a^2,a^3)</math> och <math>B^{\mu} = (b^0,b^1,b^2,b^3)</math> gäller alltså att <math>A^{\mu} B_{\nu} = a^0 b^0 - (a^1 b^1 + a^2 b^2 + a^3 b^3)</math>. 

Görs en Lorentztransformation på <math>A^{\mu}</math> till <math>A'^{\mu}</math>och på <math>B^{\mu}</math> till <math>B'^{\mu}</math> kommer de transformerade 4-vektorernas Lorentzprodukt <math>A'^{\mu} B'_{\nu}</math> att ta samma värde som innan Lorentztransformationen, alltså <math>A^{\mu} B_{\nu} = A'^{\mu} B'_{\nu}</math>. Detta gäller för alla 4-vektorer och alla Lorentztransformationer.

En Lorentzprodukt innehållande två identiska 4-vektorer brukar kallas för en ''Lorentzkvadrat'' enligt

: <math>A^2 = A^{\mu} A_{\nu} = \eta _{\mu \nu} A ^{\mu} A^{\nu} = (a^0)^2 - ((a^1)^2 + (a^0)^2 + (a^3)^2)</math>.

4-vektorer vars Lorentzkvadrat är <math>>0</math> är tidslika, <math>=0</math> är ljuslika och <math><0</math> är rumslika, analogt med ''Rumtidens geometri'' ovan.

Ibland definieras istället <math>\eta_{\mu\nu}</math> som

: <math>\eta_{\mu\nu} = \eta^{\mu\nu} =
\begin{bmatrix}
    -1 & 0 & 0 & 0\\
    0 & 1 & 0 & 0\\
    0 & 0 & 1 & 0\\
    0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix},</math>

då gäller att <math>A^{\mu} B_{\nu} = -a^0 b^0 + a^1 b^1 + a^2 b^2 + a^3 b^3</math>. 

=== 4-gradient ===
4-gradienten är en deriveringsoperator som verkar på varje komponent i en 4-vektor och definieras enligt

<math>\partial_\nu = \frac{\partial}{\partial x_\nu} = \left( \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \ -\nabla \right).</math>

== Dynamik med 4-dimensionell notation ==
=== 4-lägesvektor ===
Den mest grundläggande 4-vektorn inom speciell relativitetsteori är  <math>x^{\mu} = (ct, x, y, z)</math>, som beskriver läget i rumtiden. 

Lorentzkvadraten av differentialen för 4-lägesvektorn är 

:<math>dx^2 = dx^{\mu} dx_{\nu} = \eta_{\nu\mu} dx^\nu dx^\mu = c^2dt^2 - dx_1^2 - dx_2^2 - dx_3^2 </math>,

vilket är lika med <math>ds^2 </math> där <math>ds </math> är intervallsdifferentialen enligt avsnittet ''Rumtidens geometri'' ovan. Alltså är intervallet bevarat vid Lorentztransformation.

=== 4-hastighet ===
Ett annat exempel på en 4-vektor är 4-hastigheten. Den definieras som derivatan av 4-vektorn för lägeskoordinaterna <math>x^{\mu} = (ct, x, y, z)</math> med avseende på ''egentiden'' <math>\tau</math>, där egentiden är den tid som en observatör mäter för sitt eget inertialsystem. 4-hastigheten är alltså

:<math>U^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} = \frac{dt}{d\tau} \frac{dx^\mu}{dt} = \frac{dt}{d\tau}( c , u_x , u_y, u_z ) = \gamma( c , u_x , u_y, u_z ) =  \gamma (c, \mathbf{u} ), </math>

med Lorentzfaktorn enligt

: <math>\gamma = \gamma(u) = \frac{dt}{d\tau} = \frac{1}{\sqrt{1- u^2/c^2}} \,,\quad u^2 = u_x^2 + u_y^2 + u_z^2 \,.</math>

Lorentzkvadraten av 4-hastigheten är identiskt lika med

:<math>U^2 = U^{\mu} U_{\nu} = \eta_{\nu\mu} U^\nu U^\mu = c^2 </math>

i alla inertialsystem. Detta på grund av att <math>\mathbf{u}=(0,0,0) </math> i inertialsystemet där partikeln i fråga är i vila. Därför gäller det också i alla andra inertialsystem. Då <math>{\mathbf U}^2 \neq 0 </math> betyder det att man inte kan sitta still i rumtiden, detta på grund av att tiden alltid går framåt. 

=== 4-rörelsemängd ===
4-rörelsemängden för en partikel med massa <math>m</math> är dess massa multiplicerat med dess 4-hastighet. Den relativistiska energin för en partikel är <math>E = \gamma mc^2</math> och dess relativistiska rörelsemängd är <math>\mathbf{p} = \gamma m \mathbf{u}</math>. Därför kan 4-rörelsemängden skrivas som

:<math> p^\mu = mU^\mu = m\frac{dx^\mu}{d\tau} = m \frac{dt}{d\tau} \frac{dx^\mu}{dt} = m\frac{dt}{d\tau}( c , u_x , u_y, u_z ) = m\gamma ( c , u_x , u_y, u_z ) =  m\gamma (c, \mathbf{u}) = (E/c,p_x,p_y,p_z) = (E/c, \mathbf{p} ). </math>

Lorentzkvadraten av 4-rörelsemängden är

:<math>p^2 = p^{\mu} p_{\nu} = \eta_{\nu\mu} p^\nu p^\mu = (E/c)^2 - \mathbf{p}^2 </math>

i ett godtyckligt inertialsystem. I det inertialsystem där partikeln i fråga är i vila gäller det att <math>\mathbf{u}=(0,0,0) </math>, därför är Lorentzkvadraten av 4-rörelsemängden där 

:<math>p^2 = p^{\mu} p_{\nu} = \eta_{\nu\mu} p^\nu p^\mu = (mc)^2. </math>

Uttrycken i de två ovanstående ekvationerna måste vara lika på grund av Lorentzproduktens Lorentzinvarians. Alltså gäller att

:<math>(E/c)^2 = \mathbf{p}^2 + (mc)^2. </math>

=== 4-acceleration ===
4-accelerationen definieras som egentidsderivatan av 4-hastigheten enligt

: <math> A^\mu = \frac{dU ^\mu}{d\tau} = \frac{dt}{d\tau} \frac{dU ^\mu}{dt} = \gamma \frac{d}{dt} \left( \gamma c, \ \gamma \mathbf{u} \right) = \gamma \left( \dot \gamma c, \ \dot \gamma \mathbf{u} + \gamma \mathbf{a} \right),</math>

där <math>\dot \gamma</math> är tidsderivatan av Lorentzfaktorn.

För Lorentzprodukten mellan 4-hastigheten och 4-accelerationen gäller att

:<math>U^{\mu} A_{\nu} = \eta_{\nu\mu} U^\nu A^\mu = 0 </math>

i alla inertialsystem. Detta gäller eftersom <math>\mathbf{u}=(0,0,0) </math> och <math>\dot \gamma = 0</math> i inertialsystemet där partikeln i fråga är i vila, vilket på grund av Lorentzproduktens Lorentzinvarians medför att det stämmer i alla inertialsystem. Alltså är 4-hastigheten och 4-accelerationen alltid ortogonala.

=== 4-kraft ===
4-kraften definieras som egentidsderivatan av 4-rörelsemängden enligt

: <math> F^\mu = \frac{dp ^\mu}{d\tau} = \frac{dt}{d\tau} \frac{dp ^\mu}{dt} = \frac{dt}{d\tau}\frac{d}{dt} \left( E / c, \  \mathbf{p} \right) = \gamma \left( \frac{dE/c}{dt}, \ \frac{d\mathbf{p}}{dt} \right).</math>

Definitionen är passande eftersom den är Lorentzinvariant ( i och med att  <math> p ^\mu </math> är Lorentzinvariant) samt att dess rumskomponenter (även kallat relativistiska 3-kraften) reduceras till Newtons andra lag enligt

:<math> \mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} =  \frac{d}{dt}(m \gamma \mathbf{u}) \rightarrow m \mathbf{a} </math> 

när <math> c \rightarrow \infty </math>.

För en partikel med invariant massa gäller <math> \frac{dm}{d\tau} = 0 </math>. Det innebär att 4-kraften kan skrivas

:<math> F^\mu = \frac{dp ^\mu}{d\tau} =  \frac{d}{d\tau} ( m U^\mu ) = m \frac{dU^\mu}{d\tau} + \cancel{\frac{dm}{d\tau}}U = m A^\mu </math>.

Eftersom <math>U^{\mu} A_{\nu} = \eta_{\nu\mu} U^\nu A^\mu = 0 </math> i alla inertialsystem medför det att

:<math> F^\mu U_\mu = m A^\mu U_\mu = 0 </math>

för en massbevarande kraft. Det gäller allmänt, för massor som inte behöver vara invarianta, att 

:<math> F^\mu U_\mu = \gamma \left( \frac{dE/c}{dt}, \ \frac{d\mathbf{p}}{dt} \right) \cdot \gamma (c, \mathbf{u} ) = \gamma \left( \frac{dE/c}{dt}, \ \mathbf{F} \right) \cdot \gamma (c, \mathbf{u} )= \gamma^2 \left(\frac{d E}{d t} - \mathbf{F}\cdot \mathbf{u} \right) </math> .

Om kraften ska vara massbevarande gäller därmed 

:<math> \frac{d E}{d t} = \mathbf{F}\cdot \mathbf{u} </math> .

Den slutgiltiga massbevarande 4-kraften kan således formuleras 

:<math> F^\mu = \gamma \left( \frac{\mathbf{F} \cdot\mathbf{u}}{c}, \ \mathbf{F} \right).</math>

==  Elektromagnetism med 4-dimensionell notation ==
Speciella relativitetsteorin spelar en viktig roll inom den moderna teorin om klassisk elektromagnetism och motiverar bland annat en kompakt formulering för elektromagnetismens lagar, nämligen ''Manifest Lorentzinvariant tensorform'', vilket är ett annat namn för den fyrdimensionella notationen som använts ovan. Dessa uttryck gör det enkelt att bevisa att de klassiska elektromagnetismens lagar har samma form i alla [[inertialsystem]] och ger också ett sätt att översätta fälten och krafterna från ett system till ett annat.

=== Elektromagnetiska fälttensorn ===
Den elektromagnetiska fälttensorn <math>F_{\alpha \beta}</math> är kombinationen av elektriska- och magnetiska fältet vilken bildar en [[Kovariant relativitetsteori|kovariant]] [[Antisymmetrisk matris|antisymmetrisk]] tensor var element är fältens komponenter.<ref name="Vanderlinde">{{Citation|last=Vanderlinde|first=Jack|title=classical electromagnetic theory|publisher=Springer|year=2004|pages=313–328|url=https://books.google.com/books?id=HWrMET9_VpUC&pg=PA316&dq=electromagnetic+field+tensor+vanderlinde|isbn=9781402026997}}</ref>

: <math>F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix}
0 &  E_x/c & E_y/c & E_z/c \\
-E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
-E_y/c  & B_z & 0 & -B_x \\
-E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{matrix} \right)\,</math>.

Indexen kan höjas genom att multiplicera med metriken från både höger och vänster

: <math>F^{\mu \nu} \, \stackrel{\mathrm{def}}{=} \, \eta^{\mu \alpha} \, F_{\alpha \beta} \, \eta^{\beta \nu} = \left( \begin{matrix}
0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\
E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
E_y/c  & B_z & 0 & -B_x \\
E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{matrix} \right)\,</math>

där '''<math>\mathbf{E} = \left( E_x, \ E_y, \ E_z \right)</math>''' är det [[Elektriskt fält|elektriska fältet]], '''<math>\mathbf{B} = \left( B_x, \ B_y, \ B_z \right)</math>''' [[Magnetfält|magnetiska fältet]] och <math>c</math> [[Ljusets hastighet|ljushastigheten]].

Lorentzkvadraten av elektromagnetiska fälttensorn är Lorentzinvariant och uppfyller
:<math> F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} =  2 \left( B^2 - \frac{E^2}{c^2} \right),</math>
vilket är en skalär.

=== 4-strömmen ===
4-strömmen <math>J^{\alpha}</math> är den kontravarianta 4-vektorn som beskriver [[elektrisk laddningstäthet]] <math>\rho</math> och [[elektrisk strömtäthet]]  {{math|'''J'''}}
:<math>J^{\alpha} = ( c \rho, \mathbf{J} ) .</math>

=== 4-potentialen ===
Den elektromagnetiska 4-potentialen <math>A^{\alpha}</math> är en kontravariant 4-vektor innehållande den [[Elektrisk spänning#Elektrisk potential|elektriska potentialen]] (även kallad skalär potential)  <math>\phi</math> och den [[:en: Magnetic potential|magnetiska vektorpotentialen]] <math>\mathbf{A}</math> som följer.

:<math>A^{\alpha} = \left(\phi/c, \mathbf{A} \right).</math>

Det visar sig att den elektromagnetiska fälttensorn kan formuleras i termer av 4-potentialen enligt<ref name=":0" /> 

:<math>F_{\alpha \beta} = \partial_{\alpha} A_{\beta} - \partial_{\beta} A_{\alpha} .</math>

=== Lorentzkraften ===
{{Huvudartikel|Lorentzkraft}}
[[Fil:Lorentz_force_particle.svg|miniatyr|212x212px|Lorentzkraften '''<math>\mathbf{F}</math>''' på en partikel med laddning <math>q</math> i rörelse med momentan [[hastighet]] <math>v</math>. <math>\mathbf{E}</math>- och <math>\mathbf{B}</math>-fältet kan variera i tiden och rummet.]]

Elektromagnetiska fält påverkar rörelsen för elektriskt laddad materia på grund av [[Lorentzkraft]]en. Kraften <math>\mathbf{F}</math> verkar på en partikel med laddningen <math>q</math> med den momentana hastigheten <math>\mathbf{v}</math>, beroende på ett externt elektriskt fält <math>\mathbf{E}</math> och ett magnetiskt fält <math>\mathbf{B}</math>, ges av

:<math>\mathbf{F} = q(\mathbf{E}\ +\ \mathbf{v} \times \mathbf{B}).</math>

I ''manifest Lorentzinvariant tensorform'' beskrivs Lorentzkraften med hjälp av den elektromagnetiska fälttensorn enligt

: <math> F_{\alpha} = { d p_{\alpha} \over { d t } } =  q \, F_{\alpha \beta} \, \frac{d x^\beta}{d t} \,</math>

där <math>p_\alpha</math> är 4-rörelsemängden, ''<math>q</math>'' laddningen, och <math>x^\beta</math> är 4-lägesvektorn.

=== Kontinuitetsekvationen ===
Inom [[elektromagnetism]] är kontinuitetsekvationen en empirisk lag som lokalt beskriver laddningskonservering. Matematiskt följder den ut [[Maxwells ekvationer]], dock är laddningskonservering mer fundamentalt än Maxwells ekvationer. Kontinuitetsekvationen säger att divergensen av strömtätheten <math>\mathbf{J}</math> ([[ampere]] per kvadratmeter) är lika med den negativa förändringen av laddningsfördelningen <math>\rho</math> (coulomb per kvadratmeter).

:<math> \nabla \cdot \mathbf{J} = - {\partial \rho \over \partial t} </math>

Ström är förflyttning av laddning. Kontinuitetsekvationen säger att om laddning förflyttas från en infinitesimal volym (det vill säga divergensen av strömtätheten är positiv) kommer mängden laddning inuti den volymen att minska, alltså är förändringen av laddningstäthet negativ. Därmed uttrycker kontinuitetsekvationen laddningskonservering.

I ''manifest Lorentzinvariant tensorform'' beskrivs kontinuitetsekvationen med hjälp av 4-strömmen <math>J^{\alpha}</math> enligt<ref name=":0" />

: <math>\partial_{\alpha} J^{\alpha} \, = \, 0 \,,</math>

vilket alltså uttrycker laddningskonservering.

=== Maxwells ekvationer i vakuum ===
{{Huvudartikel|Maxwells ekvationer}}
I vakuum kan Maxwells ekvationer skrivas på ''manifest Lorentzinvariant tensorform'' i två ekvationer. De två inhomogena ekvationerna, [[Gauss lag]] och [[Ampères lag]] kan uttryckas enligt följande<ref name=":0">Classical Electrodynamics by Jackson, 3rd Edition, Chapter 11 Special Theory of Relativity</ref>

:<math>\partial_{\alpha}F^{\alpha\beta} = \frac{1}{c} J^{\beta}</math>

medan de homogena ekvationerna - [[Faradays induktionslag]] och avsaknaden av [[Magnetisk monopol|magnetiska monopoler]] kan uttryckas enligt

:<math>\partial_\alpha F_{\beta \gamma} + \partial_\beta F_{\gamma \alpha} + \partial_\gamma F_{\alpha \beta} = 0.</math>

där ''<math>F_{\alpha \beta}</math>'' är den elektromagnetiska fälttensorn,  <math>J^{\beta}</math> 4-strömmen och indexeringen följer [[Einsteins summakonvention]]. Notera att [[Lorentz–Heaviside-enheter]] används i ekvationerna.

Det går att kontrollera att dessa ekvationer stämmer överens med Maxwells ekvationer på tredimensionell form genom att sätta in olika värden på index. Genom att fixera <math>\beta=0</math> i den första ekvationen och låta <math>\alpha</math> löpa över 0,1,2,3 genereras  [[Gauss lag]] på tredimensionell form. 

:<math>\partial_\alpha F^{\alpha 0} = \frac{1}{c} J^0 \implies \partial_0 F^{0 0} + \partial_1 F^{1 0} + \partial_2 F^{2 0} + \partial_3 F^{3 0} = \rho \implies 0 + \frac{\partial}{\partial x} E_x/c + \frac{\partial}{\partial y} E_y/c + \frac{\partial}{\partial z} E_z/c = \rho \implies \nabla \cdot \mathbf{E} =  \rho. </math>

Fixeras istället <math>\beta=1</math> i den första ekvationen och man på samma sätt låter <math>\alpha</math> löpa över 0,1,2,3 genereras <math>x</math>-komponenterna av [[Ampères lag]].

:<math>\partial_\mu F^{\alpha 1} = \frac{1}{c} J^1 \implies \partial_0 F^{0 1} + \partial_1 F^{1 1} + \partial_2 F^{2 1} + \partial_3 F^{3 1} = \frac{1}{c} J_x \implies - \frac{\partial}{\partial t} E_x/c + 0 + \frac{\partial}{\partial y} B_z - \frac{\partial}{\partial z} B_y = \frac{1}{c} J_x\implies \nabla \times \mathbf{B} - \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = \frac{1}{c} \mathbf{J}.</math>

:<math>x</math>- och <math>y</math>-komponenterna fås genom att sätta  <math>\gamma = 2
</math> respektive  <math>\delta = 3</math>.

Genom att i den andra ekvationen <math>\alpha = 1, \beta= 2</math> och <math>\gamma= 3</math> fås avsaknaden av magnetiska monopoler enligt följande.

:<math>\partial_1 F_{2 3} + \partial_2 F_{3 1} + \partial_3 F_{1 2} = 0 \implies \frac{\partial}{\partial x} B_x + \frac{\partial}{\partial y} B_y + \frac{\partial}{\partial z} B_z = 0 \implies \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 .</math>

Till sist kan vi i den andra ekvationen sätta <math>\alpha = 0, \gamma = 1</math> och <math>\delta = 2</math> för att generera <math>z</math>-komponenterna i [[Faradays induktionslag]] enligt

:<math>\partial_0 F_{1 2} + \partial_1 F_{2 0} + \partial_2 F_{0 1} = 0 \implies \frac{\partial}{\partial t} B_z + \frac{\partial}{\partial x} E_y/c - \frac{\partial}{\partial y} E_x/c = 0 \implies \nabla \times \mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \mathbf{0}.</math>

För att återskapa <math>x</math>- och <math>y</math>-komponenterna kan vi sätta  <math>\alpha = 0, \gamma = 2
</math> och <math>\delta = 3</math> respektive  <math>\alpha = 0, \gamma = 3</math> och <math>\delta = 1</math>.

Vi har alltså sett att den 4-dimensionella notationen ger en betydligt med kompakt notation för att hantera elektromagnetism.

== Tester av speciella relativitetsteorins postulat ==
Några grundläggande [[tester av speciella relativitetsteorin]] är:<ref>{{tidskriftsref |författare=Robertson, H. P. |år=1949 |titel=Postulate versus Observation in the Special Theory of Relativity |tidskrift=Reviews of Modern Physics |volym=21 |nummer=3 |sid=378–382 |doi=10.1103/RevModPhys.21.378 |bibcode=1949RvMP...21..378R }}</ref> 
* ''[[Ives–Stilwells experiment]]'' utforskar den [[transversella Dopplereffekten]] (TDE) och blev den första direkta, kvantitativa bekräftelsen på [[tidsdilatation]]. 
* ''[[Michelson–Morleys experiment]]'' – mätning av rörelse genom etern
* ''[[Kennedy–Thorndikes experiment]]'' - plus
* ''[[Mössbauers rotorexperiment]]'' och
* ''Moderna Ives–Stilwell experiment'' är andra tester som bekräftar den relativistiska Dopplereffekten. 
* ''Hamars experiment'' – mätning av motstånd mot eterflödet
* ''Trouton-Nobles experiment'' – elektrostatisk påverkan orsakad av rörelse genom etern
* ''Kennedy-Thorndikes experiment'' – test av Lorentz-Fitzgerald-kontraktion
Samlingar av diverse tester på speciella relativitetsteorin finns hos [[Jakob Laub]],<ref>Laub, Jakob (1910). "Über die experimentellen Grundlagen des Relativitätsprinzips". Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik 7: 405–463.</ref> Zhang,<ref>Zhang, Yuan Zhong (1997). Special Relativity and Its Experimental Foundations. World Scientific. {{ISBN|978-981-02-2749-4}}.</ref> Mattingly,<ref>{{tidskriftsref |efternamn=Mattingly |förnamn=David |datum=7 september 2005 |url=https://link.springer.com/content/pdf/10.12942%2Flrr-2005-5.pdf |format=pdf |titel=Modern Tests of Lorentz Invariance |tidskrift=Living Reviews in Relativity |hämtdatum=17 juli 2019 |doi= |bibcode= |volym=8 |nummer=5 }}</ref> Will,<ref>{{bokref |efternamn=Will |förnamn=Clifford M. |redaktör=T. Damour, O. Darrigol, B. Duplantier and V. Rivasseau |titel=Special Relativity:  A Centenary Perspective (Poincare Seminar 2005)|origdatum=9 april 2005 |år=2006 |url=https://arxiv.org/abs/gr-qc/0504085 |hämtdatum=17 juli 2019 |utgivare=Birkhauser |utgivningsort=Basel |språk= |isbn= |issn= |oclc= |doi= |id= |sid=33–58 |citat= }}</ref> och Roberts/Schleif.<ref>Roberts, T; Schleif, S; Dlugosz, JM (ed.) (2007). [http://www.edu-observatory.org/physics-faq/Relativity/SR/experiments.html "What is the experimental basis of Special Relativity?"]. Usenet Physics FAQ. University of California, Riverside. Kollad 2012-06-30.</ref>

== Enhetsanalys av E=mc² i Internationella måttenhetssystemet (SI) ==
I ekvationen [[E=mc²]] har vänsterledet i [[SI-enhet]]en [[Joule]] (J) och högerledet har enheten kg·(m/s)², där kg, m och s är grundenheter. J definieras som newtonmeter, Nm, och N är in sin tur definierat som kg·m/s². Slår vi ihop detta får alltså att
:J = Nm = kg·a·m = kg·m/s²·m = kg·m²/s²
Högerledet faktoriserar sen som kg·(m/s)² = kg·(m/s)·(m/s) = kg·m²/s², så vänster- och högerleden har samma dimensioner.

Detta kan vara ett sätt att försöka förstå hur massa och energi kan anses vara ekvivalenta. Det är dock inte ett bevis för sambandet, det visar bara att <math>m c^2</math> har samma enhet som <math>E</math>. Man kan jämföra med den traditionella formeln för rörelseenergi <math>E = m v^2 / 2</math>.

== Exempel på tillämpningar ==
=== [[Satellitnavigering]] ===
De [[atomur]] som används i satellitnavigeringssystem som exempelvis [[GPS]] påverkas både av effekter från den speciella och den allmänna relativitetsteorin, och tar också hänsyn till dessa.

=== Kosmisk strålning ===
Ett exempel på "klockor" som rör sig med hög hastighet relativt oss är de fenomen i form av sekundärstrålning som inträffar när kosmisk strålning träffar de övre skikten i jordens atmosfär. En del av sekundärstrålningens partiklar är instabila och sönderfaller med en bestämd [[halveringstid]], det vill säga efter en viss tid är antalet kvarvarande partiklar reducerat till hälften. På grund av [[tidsdilatation]]en kommer partiklarna att tränga mycket längre ned i atmosfären än vad som motsvarar halveringstiderna mätta med jorden som referenssystem och möjliggör observationer av vissa partiklar vid jordytan vilka skulle vara praktiskt sett mycket svåra att observera om [[tidsdilatation]] ej förekom.

=== Addition av hastigheter ===
{{Main|Lorentztransformation}}
 
Hastighetstransformationen som följer av Lorentztransformationen kan användas för att addera hastigheter. Vid låga hastigheter handlar det om en försumbar korrektion, men vid höga hastigheter blir skillnaden mot det klassiska fallet stor. Om partikel 1 håller hastigheten <math>c</math> relativt en observatör och partikel 2 håller hastigheten <math>c</math> relativt partikel 1, kommer partikel 2 även att hålla hastigheten <math>c</math> relativt observatören. 

== Se även ==
* [[Newtonsk mekanik]]
* [[Kosmologi]]
* [[Dopplereffekt]]
* [[Allmänna relativitetsteorin]]
* [[Kovariant relativitetsteori]]
* [[Geometri]]
* [[Tensorer]]

== Referenser ==
<references/>

=== Litteratur ===
* {{bokref |efternamn=Einstein |förnamn=Albert |författarlänk=Albert Einstein |titel=Den speciella och den allmänna relativitetsteorin |origår=1917 |format=pocket |upplaga=2. uppl. |år=1997 |utgivare=Daidalos |utgivningsort=Göteborg |språk=svenska |isbn=9789171730862 |libris=7615223 }}
* Taylor, E F, Wheeler J A ''Spacetime Physics. Introduction to Special Relativity'', 1992

== Externa länkar ==
* {{Commonscat|Special relativity}}
* [http://www.einstein-online.info/en/elementary/index.html Einstein Online] En introduktion till relativitetsteorin från Max Planck-institutet för gravitationsfysik.
*[https://research.chalmers.se/publication/533422/file/533422_Fulltext.pdf Kompendium i speciell relativitetsteori] Introduktion till speciell relativitetsteori, Gabriele Ferretti, Sara-Louise Karlsson, Mikael Lennefors, Sebastian Lundquist, Felix Mattsson, David Schörling

{{auktoritetsdata}}

[[Kategori:Relativitetsteori]]
[[Kategori:Mekanik]]
[[Kategori:Wikipedia:Basartiklar]]
[[Kategori:Vetenskapsåret 1905]]